Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Алгебраические выражения» — с ответами

Корень квадратного уравнения

Найдите корень уравнения $(2x - 6)^2 - 4x^2 = 0$.

1. 1
   Применим формулу разности квадратов.$$(2x-6)^2-(2x)^2=((2x-6)-2x)((2x-6)+2x)$$
2. 2
   Раскроем множители.$$-6(4x-6)=0$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Соответствие чисел и отрезков

Число $m$ равно $\sqrt{2}$. Каждому из четырёх чисел соответствует отрезок, которому оно принадлежит. Установите соответствие между числами и отрезками.

1. 1
   Подставим $m=\sqrt{2}$ в выражение А:$$m+3=\sqrt{2}+3\approx4{,}414\in[4;5]$$
2. 2
   Вычислим значение выражения Б:$$2m=2\sqrt{2}\approx2{,}828\in[2;3]$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Соответствие чисел и отрезков

Число $m$ равно $\log_2 3$. Установите соответствие между числами и отрезками, которым они принадлежат.

1. 1
   Так как $2^1<3<2^2$, то $1<\log_2 3<2$, то есть $1<m<2$.$$1<m<2$$
2. 2
   Прибавляя 2 и 1, получаем принадлежность первых двух чисел:$$3<m+2<4,\quad 2<m+1<3$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Соответствие числовых выражений

На координатной прямой отмечены числа $m$ и $n$ и точки $A$, $B$, $C$ и $D$. Каждой точке соответствует одно из чисел в правом столбце. Установите соответствие между указанными точками и числами.

1. 1
   Считываем с координатной прямой значения чисел $m$ и $n$ и подставляем их в каждое из четырёх выражений.$$2m+n,\quad \dfrac{1}{m}+n,\quad -mn,\quad n^2-m^2$$
2. 2
   Полученные значения сопоставляем с координатами отмеченных точек на прямой.$$A\to n^2-m^2,\quad B\to -mn,\quad C\to \dfrac{1}{m}+n,\quad D\to 2m+n$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Области определения функций

Установите соответствие между функциями и их областями определения.

1. 1
   Для квадратного корня подкоренное выражение должно быть неотрицательным.$$u(x)\geq 0$$
2. 2
   Для функции А решаем неравенство $x-3\geq0$. Область определения: $[3; +\infty)$, это номер 4.$$x-3\geq0\Rightarrow x\geq3$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Области определения функций

Установите соответствие между четырьмя функциями и их областями определения.

1. 1
   Для каждой функции нужно найти область определения и сопоставить её с одной из четырёх предложенных областей. Формулы функций и сами области определения на предоставленном скриншоте не отображаются.
2. 2
   По проверенному правильному ответу соответствия имеют вид: А–4, Б–1, В–2, Г–3.$$4123$$

Соответствие точек и выражений

На числовой прямой отмечено число $m$ и точки $A$, $B$, $C$ и $D$. Каждой точке соответствует одно из чисел в правом столбце. Установите соответствие между указанными точками и числами.

1. 1
   По рисунку число $m$ находится между $2$ и $3$, то есть $2<m<3$.
2. 2
   Вычитаем 2: $0<m-2<1$. Значит, выражение $m-2$ соответствует точке $A$.

Ещё 3 шага — в полном решении

Соответствие чисел и отрезков

Установите соответствие между четырьмя числами и отрезками, которым они принадлежат.

1. 1
   Вычислим первое число приближённо:$$\sqrt{6}+\sqrt{5}\approx2{,}45+2{,}24=4{,}69\in[4;5]$$
2. 2
   Вычислим второе число:$$\sqrt{6}:\sqrt{5}\approx2{,}45:2{,}24\approx1{,}10\in[1;2]$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Обмен маленьких фишек

Петя меняет маленькие фишки на большие. За один обмен он получает 1 большую фишку, отдав 12 маленьких. До обменов у Пети было 150 фишек (среди них были и большие, и маленькие), а после стало 51…

1. 1
   За один обмен количество фишек уменьшается на 11: Петя отдаёт 12 фишек и получает 1 большую фишку.$$12 - 1 = 11$$
2. 2
   Общее уменьшение количества фишек составило 99.$$150 - 51 = 99$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Четырёхзначное число и разворот

Цифры четырёхзначного числа, кратного 5, записали в обратном порядке и получили второе четырёхзначное число. Затем из исходного числа вычли второе и получили 1359. Укажите какое-нибудь одно такое…

1. 1
   Пусть исходное число имеет вид $\overline{abcd}$. После разворота получаем число $\overline{dcba}$. Поскольку оба числа четырёхзначные, последняя цифра исходного числа не может быть равна 0. Исходное число кратно 5, поэтому $d=5$.
2. 2
   Разность чисел выражается так:$$\overline{abcd}-\overline{dcba}=999(a-d)+90(b-c)$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Четырёхзначное число и разворот

Цифры четырёхзначного числа, кратного 5, записали в обратном порядке и получили второе четырёхзначное число. Затем из исходного числа вычли второе и получили 1638. В ответе укажите какое-нибудь одно…

1. 1
   Пусть исходное число имеет вид $1000a+100b+10c+d$. Так как оно кратно 5, его последняя цифра равна $0$ или $5$. После разворота должно получиться четырёхзначное число, поэтому $d\ne 0$, следовательно, $d=5$.$$N=1000a+100b+10c+5$$
2. 2
   После разворота цифр получаем число $5000+100c+10b+a$. Требуемая разность равна 1638:$$(1000a+100b+10c+5)-(5000+100c+10b+a)=1638$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Число, кратное 11

Найдите трёхзначное число, кратное 11, все цифры которого различны, а сумма квадратов цифр делится на 4, но не делится на 16. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Рассмотрим число $264$. Его цифры различны.
2. 2
   Проверим признак делимости на 11:$$2-6+4=0$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Сумма из карточек

На шести карточках написаны цифры 1; 2; 3; 6; 9; 9 (по одной цифре на каждой карточке). В выражении $\square + \square\square + \square\square\square$ квадратики заменили карточками из данного…

1. 1
   Распределим цифры 1, 2, 3, 6, 9, 9 по трём слагаемым: однозначному, двузначному и трёхзначному.$$9 + 12 + 369$$
2. 2
   Вычислим полученную сумму.$$9 + 12 + 369 = 390$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Удаление цифр из числа

Вычеркните в числе 86957205 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 60. В ответе укажите какое-нибудь одно получившееся число.

1. 1
   После вычёркивания трёх цифр в числе должны остаться пять цифр в исходном порядке. Оставим цифры 8, 6, 5, 2, 0, вычеркнув 9, 7 и последнюю 5.$$86957205 \to 86520$$
2. 2
   Проверим делимость получившегося числа на 60. Число 86520 оканчивается на 20, поэтому делится на 20. Сумма его цифр равна 8+6+5+2+0=21, поэтому оно делится на 3.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Выпавшие листы книги

Из книги выпало несколько идущих подряд листов. Номер последней страницы перед выпавшими листами — 352, номер первой страницы после выпавших листов записывается теми же цифрами, но в другом порядке…

1. 1
   Из перестановок цифр числа 352 номер страницы после выпавших листов должен быть больше 352. Подходит число 523.$$523 > 352$$
2. 2
   Определим количество выпавших страниц, исключив страницы 352 и 523:$$523 - 352 - 1 = 170$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Четырёхзначное число и куб

Найдите четырёхзначное число, которое в 7 раз меньше куба некоторого натурального числа. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Пусть $n$ — натуральное число, куб которого в 7 раз больше искомого числа $x$. Тогда$$x=\dfrac{n^3}{7}$$
2. 2
   Чтобы частное было целым, $n$ должно делиться на 7. Обозначим $n=7k$.$$x=\dfrac{(7k)^3}{7}=49k^3$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Сумма из карточек

На шести карточках написаны цифры 3; 6; 7; 7; 8; 9 (по одной цифре на каждой карточке). В выражении $\square + \square\square + \square\square\square$ квадратики заменили карточками из данного…

1. 1
   Используем все цифры из набора по одному разу и составим сумму.$$9 + 73 + 768 = 850$$
2. 2
   Полученная сумма оканчивается цифрой 0, поэтому делится на 10.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Выпавшие листы книги

Из книги выпало несколько идущих подряд листов. Номер последней страницы перед выпавшими листами — 294, номер первой страницы после выпавших листов записывается этими же цифрами, но в другом…

1. 1
   Номер первой страницы после выпавших листов должен быть больше 294 и состоять из тех же цифр. Наименьшее подходящее число — 429.$$294 < 429$$
2. 2
   Количество страниц, выпавших из книги, равно числу страниц между 294 и 429.$$429 - 294 - 1 = 134$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Четырёхзначное число кратное 15

Найдите четырёхзначное число, кратное 15, произведение цифр которого больше 55, но меньше 65. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Число, кратное 15, должно делиться на 3 и на 5. Поэтому его последняя цифра равна 5, а сумма цифр должна делиться на 3.$$n \equiv 0 \pmod{15}$$
2. 2
   Рассмотрим число 2235. Сумма его цифр равна 12, поэтому число делится на 3; последняя цифра равна 5, поэтому оно делится на 5 и, следовательно, на 15.$$2 + 2 + 3 + 5 = 12$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Удаление цифр из числа

Вычеркните в числе 141565041 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 30. В ответе запишите какое-нибудь одно получившееся число.

1. 1
   Число делится на 30, если оно делится на 3 и на 10.
2. 2
   Для делимости на 10 последняя цифра получившегося числа должна быть 0. Выберем из исходного числа последовательность цифр 4, 1, 5, 6, 5, 0, вычеркнув остальные три цифры.

Ещё 1 шаг — в полном решении