Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Алгебраические выражения» — с ответами

Значение выражения с дробями

Найдите значение выражения $\dfrac{7}{12} : \left(\dfrac{1}{4} - \dfrac{2}{9}\right)$.

1. 1
   Приведём дроби в скобках к общему знаменателю:$$\dfrac{1}{4} - \dfrac{2}{9} = \dfrac{9}{36} - \dfrac{8}{36} = \dfrac{1}{36}$$
2. 2
   Заменим деление умножением на обратную дробь:$$\dfrac{7}{12} : \dfrac{1}{36} = \dfrac{7}{12} \cdot 36 = 21$$

Значение дробного выражения

Найдите значение выражения $\left(\frac{5}{6} - \frac{3}{7}\right) : \frac{17}{21}$.

1. 1
   Приведём дроби в скобках к общему знаменателю $42$:$$\frac{5}{6} - \frac{3}{7} = \frac{35}{42} - \frac{18}{42} = \frac{17}{42}$$
2. 2
   Заменим деление умножением на обратную дробь:$$\frac{17}{42} : \frac{17}{21} = \frac{17}{42} \cdot \frac{21}{17} = \frac{1}{2} = 0.5$$

Упрощение выражения с корнями

Найдите значение выражения $\dfrac{4}{5}\cdot\sqrt{5}\cdot\sqrt{45}$.

1. 1
   Объединим корни в один:$$\sqrt{5}\cdot\sqrt{45}=\sqrt{5\cdot45}=\sqrt{225}$$
2. 2
   Вычислим значение выражения:$$\dfrac{4}{5}\cdot\sqrt{225}=\dfrac{4}{5}\cdot15=12$$

Значение выражения с корнем

Найдите значение выражения $(4\sqrt{14}-4)(4\sqrt{14}+4)$.

1. 1
   Применим формулу разности квадратов к произведению суммы и разности:$$(4\sqrt{14}-4)(4\sqrt{14}+4)=(4\sqrt{14})^2-4^2$$
2. 2
   Вычислим квадраты и найдём значение выражения:$$(4\sqrt{14})^2-4^2=16\cdot14-16=224-16=208$$

Значение тригонометрического выражения

Найдите значение выражения $57\sqrt{2}\cos 405^\circ$.

1. 1
   Угол $405^\circ$ отличается от $45^\circ$ на полный оборот, поэтому значения косинусов равны.$$\cos 405^\circ=\cos 45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$$
2. 2
   Подставим значение косинуса в исходное выражение и упростим.$$57\sqrt{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}=57$$

Значение выражения с корнем

Найдите значение выражения $\sqrt{2^4 \cdot 5^2}$.

1. 1
   Представим подкоренное выражение как квадрат произведения:$$2^4\cdot 5^2=(2^2)^2\cdot 5^2=(2^2\cdot 5)^2$$
2. 2
   Извлекаем квадратный корень:$$\sqrt{(2^2\cdot 5)^2}=2^2\cdot 5=4\cdot 5=20$$

Значение числового выражения

Найдите значение выражения $\dfrac{6{,}8 - 4{,}7}{1{,}4}$.

1. 1
   Вычислим разность в числителе.$$6{,}8 - 4{,}7 = 2{,}1$$
2. 2
   Разделим полученный результат на знаменатель.$$\dfrac{2{,}1}{1{,}4} = 1{,}5$$

Значение дробного выражения

Найдите значение выражения $\dfrac{1{,}8 - 9{,}6}{3{,}9}$.

1. 1
   Вычислим числитель дроби.$$1{,}8 - 9{,}6 = -7{,}8$$
2. 2
   Разделим полученное значение на знаменатель.$$\dfrac{-7{,}8}{3{,}9} = -2$$

Значение выражения с корнями

Найдите значение выражения $\sqrt{1{,}4}\cdot\sqrt{35}$.

1. 1
   Объединим произведение квадратных корней в один корень:$$\sqrt{1{,}4}\cdot\sqrt{35}=\sqrt{1{,}4\cdot35}$$
2. 2
   Вычислим подкоренное выражение:$$1{,}4\cdot35=49$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Произведение тангенса и котангенса

Найдите значение выражения $\tg 78^\circ \cdot \ctg 78^\circ$.

1. 1
   Используем определение котангенса как величины, обратной тангенсу.$$\ctg \alpha = \dfrac{1}{\tg \alpha}$$
2. 2
   Подставим $\alpha = 78^\circ$ и сократим взаимно обратные множители.$$\tg 78^\circ \cdot \ctg 78^\circ = \tg 78^\circ \cdot \dfrac{1}{\tg 78^\circ} = 1$$

Значение выражения с корнем

Найдите значение выражения $\dfrac{64}{(4\sqrt{5})^2}$.

1. 1
   Возведём знаменатель в квадрат:$$(4\sqrt{5})^2=4^2\cdot(\sqrt{5})^2=16\cdot5=80$$
2. 2
   Подставим полученное значение в выражение и сократим дробь:$$\dfrac{64}{80}=\dfrac{4}{5}=0{,}8$$

Значение произведения сопряжённых выражений

Найдите значение выражения $(6\sqrt{17}-1)(6\sqrt{17}+1)$.

1. 1
   Применим формулу разности квадратов к произведению сопряжённых выражений.$$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$$
2. 2
   Подставим $a=6\sqrt{17}$ и $b=1$.$$(6\sqrt{17})^2-1^2=36\cdot17-1=612-1=611$$

Значение выражения с корнями

Найдите значение выражения $(5\sqrt{14}+5)(5\sqrt{14}-5)$.

1. 1
   Применим формулу разности квадратов.$$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$$
2. 2
   В данном выражении $a=5\sqrt{14}$, а $b=5$.$$(5\sqrt{14}+5)(5\sqrt{14}-5)=(5\sqrt{14})^2-5^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Упростить выражение с корнями

Найдите значение выражения $\dfrac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}$.

1. 1
   Разложим число $18$ на множители $2$ и $9$.$$18=2\cdot9$$
2. 2
   Преобразуем отношение корней и сократим общий множитель.$$\dfrac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2\cdot9}}{\sqrt{2}}=\sqrt{9}=3$$

Значение тригонометрического выражения

Найдите значение выражения $27\sqrt{2}\sin 765^\circ$.

1. 1
   Сократим угол на два полных оборота:$$765^\circ=720^\circ+45^\circ$$
2. 2
   По периодичности синуса получаем:$$\sin765^\circ=\sin45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения с корнями

Найдите значение выражения $\dfrac{4}{3}\sqrt{6}\cdot\sqrt{54}$.

1. 1
   Объединим произведение корней в один корень:$$\sqrt{6}\cdot\sqrt{54}=\sqrt{6\cdot54}=\sqrt{324}$$
2. 2
   Вычислим значение корня и умножим на дробь:$$\dfrac{4}{3}\sqrt{324}=\dfrac{4}{3}\cdot18=24$$

Значение выражения с корнями

Найдите значение выражения $\sqrt{1{,}6}\cdot\sqrt{10}$.

1. 1
   Объединим произведение корней под одним знаком корня.$$\sqrt{1{,}6}\cdot\sqrt{10}=\sqrt{1{,}6\cdot10}$$
2. 2
   Вычислим значение подкоренного выражения и извлечём квадратный корень.$$\sqrt{1{,}6\cdot10}=\sqrt{16}=4$$

Значение тригонометрического выражения

Найдите значение выражения $24\sqrt{2}\sin 405^\circ$.

1. 1
   Представим угол $405^\circ$ как сумму $360^\circ$ и $45^\circ$.$$405^\circ=360^\circ+45^\circ$$
2. 2
   Синус не изменяется при добавлении полного оборота, поэтому $\sin 405^\circ=\sin 45^\circ$.$$\sin 405^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения с корнями

Найдите значение выражения $(\sqrt{15}-8)(\sqrt{15}+8)$.

1. 1
   Применяем формулу разности квадратов.$$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$$
2. 2
   Подставляем значения и вычисляем:$$(\sqrt{15}-8)(\sqrt{15}+8)=(\sqrt{15})^2-8^2=15-64=-49$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{1{,}6 \cdot 10^2}{8 \cdot 10^{-1}}$.

1. 1
   Вычислим степени десяти:$$10^2 = 100,\quad 10^{-1} = 0{,}1$$
2. 2
   Подставим полученные значения в выражение:$$\dfrac{1{,}6 \cdot 100}{8 \cdot 0{,}1} = \dfrac{160}{0{,}8}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении