Петя и Ваня выполняют одинаковый тест. Петя отвечает за час на 15 вопросов теста, а Ваня — на 24. Они одновременно начали отвечать на вопросы теста, и Петя закончил свой тест позже Вани на 105…
- 1
Пусть тест содержит $x$ вопросов. Время работы Пети равно $\dfrac{x}{15}$ часа, а время работы Вани — $\dfrac{x}{24}$ часа.
- 2
Переведём 105 минут в часы: $105 : 60 = \dfrac{7}{4}$ часа. По условию разность времён равна $\dfrac{7}{4}$ часа.$$\dfrac{x}{15} - \dfrac{x}{24} = \dfrac{7}{4}$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Пешеход и велосипедист одновременно отправились из посёлков, расстояние между которыми 36 км, навстречу друг другу. Они встретились через 2 часа. Скорость велосипедиста на 8 км/ч больше скорости…
- 1
Пусть скорость пешехода равна $x$ км/ч. Тогда скорость велосипедиста равна $x+8$ км/ч.$$v_{\text{п}}=x,\quad v_{\text{в}}=x+8$$
- 2
За 2 часа пешеход и велосипедист вместе преодолели расстояние 36 км.$$2x+2(x+8)=36$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Расстояние между городами A и B равно 610 км. Из города A в город B со скоростью 50 км/ч выехал первый автомобиль, а через час после этого навстречу ему из города B выехал со скоростью 90 км/ч…
- 1
Пусть первый автомобиль ехал до встречи $t$ часов. Второй автомобиль выехал на час позже, поэтому он ехал $t - 1$ часов.
- 2
Сумма пройденных автомобилями расстояний равна расстоянию между городами.$$50t + 90(t - 1) = 610$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Список заданий викторины состоял из 33 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 7 очков, за неправильный ответ с него списывали 13 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько…
- 1
Пусть $x$ — число верных ответов, а $y$ — число ошибок. По условию ученик набрал 56 очков:$$7x - 13y = 56$$
- 2
Так как хотя бы один ответ был неправильным, $y \geq 1$. Из уравнения получаем:$$7x = 56 + 13y$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Имеется два сплава. Первый сплав содержит 5 % меди, второй — 40 % меди. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 10 % меди. Масса первого сплава равна 60 кг. Найдите массу третьего…
- 1
Пусть масса второго сплава равна $x$ кг. Тогда масса третьего сплава равна $(60+x)$ кг.$$m_3=60+x$$
- 2
Масса меди в первом и втором сплавах равна массе меди в третьем сплаве.$$0{,}05\cdot60+0{,}4x=0{,}1(60+x)$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В сосуд, содержащий 5 кг 27-процентного водного раствора вещества, добавили 4 кг воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
- 1
Определим массу растворённого вещества в исходном растворе:$$m_\text{вещества}=5\cdot 0{,}27=1{,}35\ \text{кг}$$
- 2
После добавления воды масса вещества остаётся равной $1{,}35$ кг, а масса раствора становится:$$m_\text{раствора}=5+4=9\ \text{кг}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Список заданий викторины состоял из 25 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 7 очков, за неправильный ответ с него списывали 10 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько…
- 1
Пусть $x$ — число верных ответов, а $y$ — число неправильных ответов. Тогда количество набранных очков выражается уравнением:$$7x - 10y = 42$$
- 2
Так как всего было 25 вопросов, имеем $x+y\leqslant25$, а по условию $y\geqslant1$.
Ещё 2 шага — в полном решении
Расстояние между городами $A$ и $B$ равно 500 км. Из города $A$ в город $B$ выехал первый автомобиль, а через час после этого навстречу ему из города $B$ выехал со скоростью 80 км/ч второй…
- 1
В момент встречи второй автомобиль проехал расстояние от города $B$ до точки встречи:$$500 - 260 = 240\ \text{км}$$
- 2
Найдём время движения второго автомобиля:$$t_2 = \dfrac{240}{80} = 3\ \text{ч}$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Список заданий викторины состоял из 55 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 9 очков, за неправильный ответ с него списывали 17 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. На…
- 1
Пусть $x$ — число правильных ответов, $y$ — число неправильных ответов, $z$ — число вопросов без ответа.$$x+y+z=55$$
- 2
По условию о набранных очках составим уравнение.$$9x-17y=153$$
Ещё 3 шага — в полном решении
Расстояние между городами A и B равно 470 км. Из города A в город B со скоростью 60 км/ч выехал первый автомобиль, а через три часа после этого навстречу ему из города B выехал со скоростью 85 км/ч…
- 1
За первые 3 часа первый автомобиль проехал:$$60 \cdot 3 = 180\ \text{км}$$
- 2
К моменту выезда второго автомобиля между автомобилями оставалось:$$470 - 180 = 290\ \text{км}$$
Ещё 3 шага — в полном решении
Первый час автомобиль ехал со скоростью 115 км/ч, следующие три часа — со скоростью 45 км/ч, а затем два часа — со скоростью 40 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
- 1
Вычислим общий путь автомобиля:$$S = 115 \cdot 1 + 45 \cdot 3 + 40 \cdot 2 = 115 + 135 + 80 = 330\text{ км}$$
- 2
Общее время движения равно:$$t = 1 + 3 + 2 = 6\text{ ч}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Дорога между пунктами А и В состоит из подъёма и спуска, а её длина равна 36 км. Путь из А в В занял у туриста 10 часов, из которых 2 часа ушло на спуск. Найдите скорость туриста на спуске, если она…
- 1
На подъём турист затратил $10-2=8$ часов. Пусть скорость на подъёме равна $x$ км/ч, тогда скорость на спуске равна $x+3$ км/ч.$$v_{\text{подъём}}=x,\quad v_{\text{спуск}}=x+3$$
- 2
Составим уравнение для общей длины дороги: путь на подъёме плюс путь на спуске равен 36 км.$$8x+2(x+3)=36$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Имеется два сплава. Первый содержит 30 % никеля, второй — 5 % никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 10 % никеля. Масса первого сплава равна 35 кг. На сколько килограммов…
- 1
Пусть масса второго сплава равна $x$ кг. Тогда масса полученного сплава равна $35+x$ кг.$$x$$
- 2
Составим уравнение по массе никеля в сплавах:$$0{,}3 \cdot 35 + 0{,}05x = 0{,}1(35+x)$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Мужской костюм состоит из брюк, жилета и пиджака. Пиджак дороже брюк на 20 %, а жилет дешевле брюк на 20 %. Сколько стоит мужской костюм, если брюки стоят 4600 рублей?
- 1
Рассчитаем стоимость пиджака, который дороже брюк на 20 %:$$4600 \cdot 1{,}2 = 5520$$
- 2
Рассчитаем стоимость жилета, который дешевле брюк на 20 %:$$4600 \cdot 0{,}8 = 3680$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Расстояние между городами A и B равно 310 км. Из города A в город B со скоростью 60 км/ч выехал первый автомобиль, а через час после этого навстречу ему из города B выехал со скоростью 65 км/ч…
- 1
Обозначим через $t$ время движения первого автомобиля до встречи. Второй автомобиль выехал на час позже, поэтому он двигался $t - 1$ часов.$$t_2 = t - 1$$
- 2
До встречи автомобили вместе преодолели расстояние между городами.$$60t + 65(t - 1) = 310$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Список заданий викторины состоял из 50 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 9 очков, за неправильный ответ с него списывали 17 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько…
- 1
Пусть $x$ — число верных ответов, а $y$ — число неправильных ответов. По условию составляем уравнение для набранных очков:$$9x - 17y = 153$$
- 2
Перенесём слагаемое и учтём, что $153 = 9 \cdot 17$:$$9(x - 17) = 17y$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Один мастер может выполнить заказ за 40 часов, а другой — за 10 часов. За сколько часов выполнят заказ оба мастера, работая вместе?
- 1
Производительность первого мастера равна $\dfrac{1}{40}$ заказа в час, а второго — $\dfrac{1}{10}$ заказа в час.$$\frac{1}{40},\quad \frac{1}{10}$$
- 2
Найдём совместную производительность мастеров.$$\frac{1}{40}+\frac{1}{10}=\frac{1}{40}+\frac{4}{40}=\frac{5}{40}=\frac{1}{8}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Смешали некоторое количество 12-процентного раствора вещества с таким же количеством 18-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
- 1
Пусть смешали по $x$ единиц каждого раствора. Количество растворённого вещества равно $0{,}12x + 0{,}18x$, а общий объём раствора — $2x$.$$c = \frac{0{,}12x + 0{,}18x}{2x}$$
- 2
Вычисляем концентрацию получившегося раствора:$$c = \frac{0{,}30x}{2x} = 0{,}15 = 15\%$$
Поручение на окрашивание деталей маляр Сергей мог выполнить за 15 часов. Однако к нему на помощь были направлены ещё два маляра. Скорость работы первого в 1,5 раза, а второго в 1,25 раза больше, чем…
- 1
Примем весь объём работы за 1. Производительность Сергея равна:$$\frac{1}{15}$$
- 2
Производительности первого и второго маляров соответственно равны:$$1{,}5 \cdot \frac{1}{15} = \frac{1}{10},\quad 1{,}25 \cdot \frac{1}{15} = \frac{1}{12}$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Петя и Ваня выполняют одинаковый тест. Петя отвечает за час на 19 вопросов теста, а Ваня — на 20. Они одновременно начали отвечать на вопросы теста, и Петя закончил свой тест позже Вани на 9 минут…
- 1
Пусть тест содержит $n$ вопросов. Время выполнения теста Петей равно $\dfrac{n}{19}$ часа, а Ваней — $\dfrac{n}{20}$ часа.
- 2
Петя затратил на 9 минут больше. Переведём 9 минут в часы: $9\text{ мин} = \dfrac{9}{60} = \dfrac{3}{20}$ часа.$$\dfrac{n}{19} - \dfrac{n}{20} = \dfrac{3}{20}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении