В равнобедренном треугольнике $ABC$ боковая сторона $AB = 50$, $\sin A = \dfrac{7}{25}$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
- 1
Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, его боковые стороны равны: $AB = BC = 50$. Углы при основании равны, поэтому $B = 180^\circ - 2A$ и $\sin B = \sin 2A$.$$S = \dfrac{1}{2}AB \cdot BC \cdot \sin B$$
- 2
По условию $\sin A = \dfrac{7}{25}$. Так как угол $A$ острый, $\cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \dfrac{24}{25}$.$$\cos A = \sqrt{1 - \left(\dfrac{7}{25}\right)^2} = \dfrac{24}{25}$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
В треугольнике $ABC$ сторона $AC = 96$, $BM$ — медиана, $BH$ — высота, $BC = BM$. Найдите длину отрезка $AH$.
- 1
Так как $BM$ — медиана, точка $M$ является серединой стороны $AC$. Поэтому $AM = MC = 48$.
- 2
Обозначим $AH = x$. Поскольку $BH$ — высота, треугольники $BHC$ и $BHM$ прямоугольные. Из условия $BC = BM$ следует равенство их квадратов гипотенуз:$$BC^2 = BM^2$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AL$. Угол $ALC$ равен $37^\circ$, угол $ABC$ равен $25^\circ$. Найдите угол $ACB$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Обозначим угол $ACB$ через $x$. Поскольку точки $B$, $L$, $C$ лежат на одной прямой, угол $ACL$ также равен $x$.$$\angle ACL = \angle ACB = x$$
- 2
Рассмотрим треугольник $ALC$ и найдём угол $LAC$.$$\angle LAC = 180^\circ - 37^\circ - x = 143^\circ - x$$
Ещё 3 қадам — толық шешімде
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $CH$ — высота, $BC = 10$, $\sin A = 0{,}4$. Найдите длину отрезка $BH$.
- 1
По определению синуса угла $A$ в прямоугольном треугольнике:$$\sin A = \frac{BC}{AB}$$
- 2
Найдём гипотенузу $AB$:$$AB = \frac{BC}{\sin A} = \frac{10}{0{,}4} = 25$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ известно, что $AB = BC$, $AD = CD$, $\angle B = 59^\circ$, $\angle D = 147^\circ$. Найдите угол $A$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Рассмотрим треугольники $ABD$ и $CBD$. У них $AB = BC$, $AD = CD$, а сторона $BD$ общая. Следовательно, треугольники равны по трём сторонам.$$SSS$$
- 2
Из равенства треугольников следует равенство противоположных углов четырёхугольника:$$\angle A = \angle C$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Площадь прямоугольника $ABCD$ равна 300, сторона $BC = 25$. Найдите тангенс угла $CAD$.
- 1
Из формулы площади прямоугольника найдём сторону $AB$:$$AB = \dfrac{S}{BC} = \dfrac{300}{25} = 12$$
- 2
В прямоугольном треугольнике $ACD$ катеты равны $AB$ и $AD = BC$. Для угла $CAD$ тангенс равен отношению противолежащего катета к прилежащему:$$\tan \angle CAD = \dfrac{AB}{AD} = \dfrac{12}{25} = 0{,}48$$
В ромбе $ABCD$ диагональ $AC = 4\sqrt{6}$, диагональ $BD = 2$. Найдите синус угла $BAC$.
- 1
Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей ромба. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам, поэтому $AO = 2\sqrt{6}$ и $BO = 1$.$$AO=\frac{AC}{2}=2\sqrt{6},\quad BO=\frac{BD}{2}=1$$
- 2
В прямоугольном треугольнике $AOB$ найдём сторону ромба $AB$.$$AB=\sqrt{AO^2+BO^2}=\sqrt{(2\sqrt{6})^2+1^2}=\sqrt{25}=5$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В трапеции $ABCD$ известно, что $AB = CD$, $\angle BDA = 30^\circ$ и $\angle BDC = 110^\circ$. Найдите величину угла $ABD$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Так как боковые стороны трапеции равны: $AB = CD$, трапеция является равнобедренной. Поэтому углы при основании $AD$ равны: $\angle BAD = \angle ADC$.
- 2
Диагональ $BD$ делит угол $ADC$ на углы $BDA$ и $BDC$, поэтому$$\angle ADC = \angle BDA + \angle BDC = 30^\circ + 110^\circ = 140^\circ$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В равнобедренном треугольнике $ABC$ угол $ABC$ равен $120^\circ$. Высота $BK$, проведённая к основанию, равна 60. Найдите боковую сторону $AB$.
- 1
В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также биссектрисой угла при вершине.$$\angle ABK = \dfrac{120^\circ}{2} = 60^\circ$$
- 2
Треугольник $ABK$ прямоугольный, поэтому его второй острый угол равен $30^\circ$.$$\angle BAK = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
На окружности радиусом 3 отмечена точка $C$. Отрезок $AB$ — диаметр окружности, $AC = 4\sqrt{2}$. Найдите длину хорды $BC$.
- 1
Диаметр окружности в два раза больше радиуса:$$AB = 2R = 2 \cdot 3 = 6$$
- 2
Угол $ACB$ прямой, так как он опирается на диаметр окружности.$$\angle ACB = 90^\circ$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Найдите $\sin \alpha$, если $\cos \alpha = \dfrac{3\sqrt{11}}{10}$ и $270^\circ < \alpha < 360^\circ$.
- 1
Так как $270^\circ < \alpha < 360^\circ$, угол находится в четвёртой четверти, поэтому синус отрицателен.$$\sin\alpha < 0$$
- 2
По основному тригонометрическому тождеству найдём квадрат синуса.$$\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - \left(\frac{3\sqrt{11}}{10}\right)^2 = 1 - \frac{99}{100} = \frac{1}{100}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Площадь прямоугольника $ABCD$ равна $80$, сторона $AB = 6$. Найдите тангенс угла $CAD$.
- 1
Площадь прямоугольника равна произведению его сторон. Найдём сторону $AD$:$$AD = \dfrac{80}{6} = \dfrac{40}{3}$$
- 2
В прямоугольном треугольнике $ACD$ противолежащий углу $CAD$ катет равен $CD = AB = 6$.$$\tan\angle CAD = \dfrac{CD}{AD}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В прямоугольной трапеции основания равны 2 и 6, а один из углов равен $135^\circ$. Найдите меньшую боковую сторону.
- 1
Опустим перпендикуляр из вершины короткого основания к длинному основанию. Горизонтальный катет получившегося прямоугольного треугольника равен разности оснований:$$6 - 2 = 4$$
- 2
Угол между наклонной боковой стороной и основанием равен $180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$.
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Площадь прямоугольника $ABCD$ равна 270, сторона $BC = 30$. Найдите тангенс угла $CAD$.
- 1
Площадь прямоугольника равна произведению его сторон, поэтому найдём сторону $AB$, равную стороне $CD$:$$AB = CD = \dfrac{270}{30} = 9$$
- 2
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACD$. Для угла $CAD$ противолежащий катет — $CD$, а прилежащий — $AD$.$$\tan \angle CAD = \dfrac{CD}{AD} = \dfrac{9}{30} = 0{,}3$$
В прямоугольнике одна из сторон равна 35, а диагональ равна 37. Найдите площадь этого прямоугольника.
- 1
Диагональ и стороны прямоугольника образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора найдём вторую сторону.$$b^2 = 37^2 - 35^2 = 1369 - 1225 = 144$$
- 2
Следовательно, вторая сторона прямоугольника равна 12.$$b = \sqrt{144} = 12$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В угол с вершиной $C$, равный $68^\circ$, вписана окружность с центром $O$, которая касается сторон угла в точках $A$ и $B$. Найдите угол $AOB$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Радиусы $OA$ и $OB$ перпендикулярны сторонам угла, поэтому углы $OAC$ и $OBC$ равны $90^\circ$.$$\angle OAC = \angle OBC = 90^\circ$$
- 2
Рассмотрим четырёхугольник $CAOB$. Сумма его внутренних углов равна $360^\circ$.$$\angle AOB = 360^\circ - 68^\circ - 90^\circ - 90^\circ$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
На окружности по разные стороны от диаметра $AB$ отмечены точки $D$ и $C$. Известно, что $\angle DBA = 47^\circ$. Найдите угол $DCB$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Вписанный угол $\angle DBA$ равен половине дуги $DA$, на которую он опирается.$$\overset{\frown}{DA}=2\angle DBA=2\cdot47^\circ=94^\circ$$
- 2
Так как $AB$ — диаметр, дуга $ADB$ является полуокружностью и равна $180^\circ$.$$\overset{\frown}{DB}=180^\circ-94^\circ=86^\circ$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Площадь прямоугольного треугольника равна 84. Один из катетов равен 24. Найдите длину гипотенузы этого треугольника.
- 1
По формуле площади прямоугольного треугольника найдём второй катет.$$b = \dfrac{2S}{a} = \dfrac{2 \cdot 84}{24} = 7$$
- 2
По теореме Пифагора найдём гипотенузу.$$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{24^2 + 7^2} = \sqrt{625} = 25$$
В ромбе $ABCD$ диагональ $AC = 28$, площадь ромба равна 98. Найдите тангенс угла $BAC$.
- 1
Используем формулу площади ромба через диагонали.$$S=\dfrac{d_1d_2}{2}$$
- 2
Найдём вторую диагональ ромба:$$d_2=\dfrac{2S}{d_1}=\dfrac{2\cdot98}{28}=7$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
На окружности радиусом 14 отмечена точка $C$. Отрезок $AB$ — диаметр окружности, $AC = 7$. Найдите $\sin \angle ABC$.
- 1
Так как $AB$ — диаметр окружности, угол $ACB$ прямой по теореме Фалеса.$$\angle ACB = 90^\circ$$
- 2
Диаметр окружности равен двум радиусам.$$AB = 2 \cdot 14 = 28$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде