Диагонали $AC$ и $BD$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$, $AC = 16$, $BD = 20$, $AB = 5$. Найдите $DO$.
- 1
Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.$$DO = \frac{BD}{2}$$
- 2
Подставим длину диагонали $BD$.$$DO = \frac{20}{2} = 10$$
Площадь параллелограмма равна 32, а две его стороны равны 8 и 16. Найдите его высоты. В ответе укажите большую высоту.
- 1
Высоту параллелограмма найдём по формуле площади:$$h = \dfrac{S}{a}$$
- 2
Для стороны длиной 8 высота равна:$$h_1 = \dfrac{32}{8} = 4$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Диагональ равнобедренной трапеции образует с её основанием угол $45^\circ$. Найдите высоту трапеции, если её основания равны $3$ и $7$.
- 1
Опустим высоты из концов меньшего основания. Из-за равнобедренности трапеции боковые части большего основания равны.$$x=\dfrac{7-3}{2}=2$$
- 2
Горизонтальная проекция диагонали от левого конца большего основания до правого конца меньшего основания равна сумме левой боковой части и меньшего основания.$$d_x=2+3=5$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Периметр ромба равен 20, а один из углов равен $30^\circ$. Найдите площадь этого ромба.
- 1
Найдём длину стороны ромба. Все его стороны равны, поэтому сторона равна четверти периметра.$$a = \dfrac{20}{4} = 5$$
- 2
Площадь ромба равна произведению квадрата стороны на синус угла между сторонами.$$S = a^2\sin\alpha$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Диагональ $AC$ параллелограмма $ABCD$ образует с его сторонами углы, равные $35^\circ$ и $30^\circ$. Найдите больший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
- 1
Диагональ $AC$ делит угол $A$ на два угла величиной $35^\circ$ и $30^\circ$.$$\angle A = 35^\circ + 30^\circ = 65^\circ$$
- 2
Соседние углы параллелограмма supplementary, поэтому больший угол равен разности между $180^\circ$ и углом $A$.$$\angle B = 180^\circ - 65^\circ = 115^\circ$$
Основания трапеции равны 10 и 11. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.
- 1
Диагональ трапеции делит её среднюю линию на два отрезка, равных половинам оснований.$$l_1=\dfrac{10}{2}=5,\quad l_2=\dfrac{11}{2}=5{,}5$$
- 2
Выбираем больший из полученных отрезков.$$\max(5;5{,}5)=5{,}5$$
Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей ромба к его стороне, образует с одной из его диагоналей угол $35^\circ$. Сколько градусов составляет острый угол ромба?
- 1
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.
- 2
Перпендикуляр к стороне образует с одной из диагоналей угол $35^\circ$. Следовательно, угол между этой диагональю и стороной равен $35^\circ$, поскольку эти углы являются углами между взаимно перпендикулярными прямыми.
Ещё 1 шаг — в полном решении
Диагональ равнобедренной трапеции образует с боковыми сторонами углы $23^\circ$ и $75^\circ$. Сколько градусов составляет угол при большем основании трапеции?
- 1
Диагональ образует с боковыми сторонами треугольник, в котором два угла равны $23^\circ$ и $75^\circ$.$$23^\circ+75^\circ+\angle D=180^\circ$$
- 2
Находим угол при верхнем основании трапеции:$$\angle D=180^\circ-23^\circ-75^\circ=82^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Площадь параллелограмма равна 40, а две его стороны равны 5 и 10. Найдите его высоты. Укажите большую высоту.
- 1
Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведённую к этой стороне.$$S = a h$$
- 2
Высота, соответствующая стороне длиной 5, равна:$$h_1 = \dfrac{40}{5} = 8$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Точка $O$ является серединой стороны $CD$ квадрата $ABCD$. Радиус окружности с центром в точке $O$, проходящей через вершину $A$, равен 3. Найдите площадь квадрата $ABCD$.
- 1
Обозначим сторону квадрата через $a$. Так как $O$ — середина стороны $CD$, то $OD=\dfrac{a}{2}$, а $AD=a$.
- 2
В прямоугольном треугольнике $AOD$ по теореме Пифагора:$$OA^2=AD^2+OD^2=a^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2=\frac{5a^2}{4}$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Один из углов параллелограмма равен $74^\circ$. Найдите больший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
- 1
Соседние углы параллелограмма являются supplementary и в сумме дают $180^\circ$.$$180^\circ - 74^\circ$$
- 2
Вычислим величину большего угла.$$180^\circ - 74^\circ = 106^\circ$$
Острый угол ромба равен $40^\circ$. Сколько градусов составляет угол между стороной и меньшей диагональю ромба?
- 1
Найдём тупой угол ромба как угол, смежный с острым:$$180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$$
- 2
Меньшая диагональ ромба делит тупые углы пополам, поэтому угол между стороной и этой диагональю равен:$$140^\circ : 2 = 70^\circ$$
Основания трапеции равны 11 и 19, а высота равна 9. Найдите среднюю линию этой трапеции.
- 1
Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований.$$m = \dfrac{a+b}{2}$$
- 2
Подставим длины оснований в формулу:$$m = \dfrac{11+19}{2} = 15$$
Найдите острый угол параллелограмма $ABCD$, если биссектриса угла $A$ образует со стороной $BC$ угол, равный $12^\circ$. Ответ дайте в градусах.
- 1
В параллелограмме $BC \parallel AD$, поэтому угол между биссектрисой угла $A$ и стороной $AD$ равен $12^\circ$.$$\angle DAC = 12^\circ$$
- 2
Так как $AC$ — биссектриса угла $A$, угол $A$ в два раза больше угла между биссектрисой и стороной $AD$.$$\angle A = 2\angle DAC = 2\cdot 12^\circ = 24^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.
- 1
Найдём длину основания параллелограмма как сумму двух отмеченных частей:$$a = 12 + 8 = 20$$
- 2
Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту:$$S = ah = 20 \cdot 5 = 100$$
Один из углов ромба равен $118^\circ$. Сколько градусов составляет угол между высотой и большей диагональю ромба?
- 1
Соседние углы ромба в сумме составляют $180^\circ$, поэтому острый угол ромба равен:$$180^\circ - 118^\circ = 62^\circ$$
- 2
Большая диагональ ромба проходит через его острые углы и делит их пополам. Поэтому угол между большей диагональю и стороной равен:$$\frac{62^\circ}{2} = 31^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В ромбе $ABCD$ угол $ABC$ равен $84^\circ$. Найдите угол $ACD$. Ответ дайте в градусах.
- 1
В ромбе соседние углы supplementary, поэтому найдём угол $BCD$:$$\angle BCD = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 84^\circ = 96^\circ$$
- 2
Диагональ ромба $AC$ делит угол $BCD$ пополам:$$\angle ACD = \dfrac{\angle BCD}{2} = \dfrac{96^\circ}{2} = 48^\circ$$
В равнобедренной трапеции с основаниями $AD$ и $BC$ угол $D$ равен $73°$. Диагональ $AC$ образует со стороной $AB$ угол $19°$. Сколько градусов составляет угол между этой диагональю и меньшим…
- 1
В равнобедренной трапеции углы при одном основании равны, поэтому угол $A$ равен углу $D$.$$\angle A = \angle D = 73^\circ$$
- 2
Диагональ $AC$ делит угол $A$ на угол между сторонами $AB$ и $AC$, равный $19°$, и угол между диагональю $AC$ и основанием $AD$.$$\angle CAD = \angle DAB - \angle CAB = 73^\circ - 19^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Основания трапеции равны 1 и 11. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.
- 1
Диагональ трапеции пересекает её среднюю линию и делит её на два отрезка, длины которых равны половинам оснований трапеции.$$l_1 = \frac{1}{2},\quad l_2 = \frac{11}{2}$$
- 2
Больший из полученных отрезков равен половине большего основания.$$l_{\max} = \frac{11}{2} = 5{,}5$$
В равнобедренной трапеции известны высота, меньшее основание и угол при основании (см. рисунок). Найдите большее основание.
- 1
При опускании высот из концов меньшего основания образуются два равных прямоугольных треугольника. Их вертикальный катет равен высоте трапеции, то есть $5$.
- 2
Угол при основании равен $45^\circ$, поэтому горизонтальный катет каждого треугольника равен$$x=\frac{5}{\tan 45^\circ}=5$$
Ещё 1 шаг — в полном решении