Высота равнобедренной трапеции, проведённая из конца её меньшего основания, делит большее основание на отрезки длиной 4 и 6. Найдите меньшее основание трапеции.
- 1
В равнобедренной трапеции высота, проведённая из конца меньшего основания, отсекает на большем основании отрезок, равный разности оснований.
- 2
Следовательно, меньшее основание равно разности данных отрезков:$$6 - 4 = 2$$
В равнобедренной трапеции с основаниями $AD$ и $BC$ угол $D$ равен $78^\circ$. Диагональ $AC$ образует со стороной $AB$ угол $32^\circ$. Сколько градусов составляет угол между этой диагональю и…
- 1
В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны. Поэтому угол $A$ равен углу $D$:$$\angle A = \angle D = 78^\circ$$
- 2
Диагональ $AC$ делит угол $A$ на угол между сторонами $AB$ и $AC$, равный $32^\circ$, и угол между диагональю и основанием $AD$.$$\angle CAD = 78^\circ - 32^\circ = 46^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Один из углов прямоугольной трапеции равен $107^\circ$. Найдите меньший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
- 1
В прямоугольной трапеции два угла равны $90^\circ$. Два остальных угла являются внутренними односторонними при параллельных основаниях, поэтому их сумма равна $180^\circ$.$$\alpha + \beta = 180^\circ$$
- 2
Найдём второй непрямой угол:$$\beta = 180^\circ - 107^\circ = 73^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Диагонали $AC$ и $BD$ прямоугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$, $BO = 24$, $AB = 45$. Найдите $AC$.
- 1
Точка пересечения диагоналей прямоугольника делит каждую диагональ пополам.$$BD = 2BO$$
- 2
Вычислим длину диагонали $BD$.$$BD = 2 \cdot 24 = 48$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Высота равнобедренной трапеции, проведённая из вершины $C$, делит основание $AD$ на отрезки длиной 1 и 11. Найдите длину основания $BC$.
- 1
Высота из вершины $C$ делит основание $AD$ на отрезки длиной $11$ и $1$. В равнобедренной трапеции отрезок у вершины $D$ равен такому же боковому отрезку у вершины $A$.$$AD - BC = 1 + 1 = 2$$
- 2
Длина основания $AD$ равна сумме двух отрезков:$$AD = 11 + 1 = 12$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Основания трапеции равны 1 и 17. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.
- 1
Средняя линия трапеции, соединяющая середины боковых сторон, делится диагональю на два отрезка, равных половинам оснований трапеции.$$x_1 = \dfrac{1}{2}, \quad x_2 = \dfrac{17}{2}$$
- 2
Находим больший из полученных отрезков:$$x_2 = \dfrac{17}{2} = 8{,}5$$
Основания трапеции равны 6 и 14, а высота равна 8. Найдите площадь этой трапеции.
- 1
Используем формулу площади трапеции.$$S = \dfrac{a+b}{2} \cdot h$$
- 2
Подставим значения оснований и высоты.$$S = \dfrac{6+14}{2} \cdot 8 = 10 \cdot 8 = 80$$
Диагональ равнобедренной трапеции образует с её основанием угол $45^\circ$. Найдите высоту трапеции, если её основания равны $2$ и $7$.
- 1
В равнобедренной трапеции разность оснований распределяется поровну между двумя боковыми сторонами. Горизонтальная проекция диагонали равна сумме бокового отрезка и меньшего основания:$$x=\dfrac{7-2}{2}+2=4{,}5$$
- 2
Диагональ образует с основанием угол $45^\circ$, поэтому в образовавшемся прямоугольном треугольнике катеты равны. Следовательно, высота трапеции равна горизонтальной проекции диагонали:$$h=x=4{,}5$$
Один из углов ромба равен $24^\circ$. Найдите больший угол этого ромба. Ответ дайте в градусах.
- 1
Соседние углы ромба являются дополнительными.$$\alpha + \beta = 180^\circ$$
- 2
Находим больший угол ромба:$$\beta = 180^\circ - 24^\circ = 156^\circ$$
В равнобедренной трапеции $ABCD$ угол $D$ равен $48^\circ$. Найдите градусную меру угла $ACD$, если луч $AC$ является биссектрисой угла $BAD$.
- 1
В равнобедренной трапеции углы при основании $AD$ равны. Следовательно, $\angle BAD = \angle ADC = 48^\circ$.$$\angle BAD = 48^\circ$$
- 2
Луч $AC$ является биссектрисой угла $BAD$, поэтому$$\angle CAD = \dfrac{48^\circ}{2} = 24^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Один из углов равнобедренной трапеции равен $55^\circ$. Найдите больший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
- 1
В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны. Соседние углы при боковой стороне в сумме дают $180^\circ$.$$\alpha + \beta = 180^\circ$$
- 2
Если один угол равен $55^\circ$, то больший угол равен:$$\beta = 180^\circ - 55^\circ = 125^\circ$$
Диагональ равнобедренной трапеции образует с боковыми сторонами углы $30^\circ$ и $80^\circ$. Сколько градусов составляет угол при большем основании трапеции?
- 1
В равнобедренной трапеции углы при большем основании равны. Обозначим каждый из них через $x$.
- 2
Рассмотрим треугольник, образованный диагональю, боковой стороной и большим основанием. Угол при большем основании этого треугольника равен $x - 30^\circ$, второй известный угол равен $80^\circ$.$$(x - 30^\circ) + 80^\circ + x = 180^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Диагональ прямоугольника образует угол $61^\circ$ с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.
- 1
Диагонали прямоугольника симметричны относительно его основания, поэтому угол между ними, расположенный внутри верхней части прямоугольника, равен разности развернутого угла и двух углов по $61^\circ$.$$\alpha = 180^\circ - 2 \cdot 61^\circ$$
- 2
Вычисляем значение острого угла между диагоналями.$$\alpha = 180^\circ - 122^\circ = 58^\circ$$
Точка $O$ является серединой стороны $CD$ квадрата $ABCD$. Радиус окружности с центром в точке $O$, проходящей через вершину $A$, равен $2$. Найдите площадь квадрата $ABCD$.
- 1
Пусть сторона квадрата равна $a$. Поскольку $O$ — середина стороны $CD$, имеем $OD = \dfrac{a}{2}$, а $AD = a$.
- 2
Треугольник $AOD$ прямоугольный, поэтому по теореме Пифагора:$$OA^2 = AD^2 + OD^2 = a^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Один из углов ромба равен $122^\circ$. Сколько градусов составляет угол между высотой и большей диагональю ромба?
- 1
Смежный с углом $122^\circ$ угол ромба является острым:$$180^\circ - 122^\circ = 58^\circ$$
- 2
Большая диагональ ромба делит острый угол пополам, поэтому угол между большей диагональю и стороной равен:$$\dfrac{58^\circ}{2} = 29^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В равнобедренной трапеции с основаниями $AD$ и $BC$ угол $D$ равен $61^\circ$. Диагональ $AC$ образует со стороной $AB$ угол $23^\circ$. Сколько градусов составляет угол между этой диагональю и…
- 1
В равнобедренной трапеции углы при одном основании равны, поэтому $\angle A = \angle D = 61^\circ$.$$\angle A = 61^\circ$$
- 2
Диагональ $AC$ делит угол $A$ на угол между сторонами $AB$ и $AC$, равный $23^\circ$, и угол между диагональю $AC$ и основанием $AD$.$$\angle CAD = 61^\circ - 23^\circ = 38^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Периметр ромба равен 88, а один из углов равен $30^\circ$. Найдите площадь этого ромба.
- 1
У ромба все стороны равны, поэтому длина его стороны равна четверти периметра:$$a=\frac{88}{4}=22$$
- 2
Площадь ромба равна произведению квадрата стороны на синус угла между сторонами:$$S=a^2\sin\alpha$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Один из углов параллелограмма равен $128^\circ$. Найдите меньший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
- 1
Соседние углы параллелограмма являются дополнительными.$$\alpha + \beta = 180^\circ$$
- 2
Вычислим меньший угол:$$\beta = 180^\circ - 128^\circ = 52^\circ$$
Один из углов ромба равен $93^\circ$. Найдите меньший угол этого ромба. Ответ дайте в градусах.
- 1
Ромб является параллелограммом, поэтому его соседние углы в сумме составляют $180^\circ$.$$\alpha + \beta = 180^\circ$$
- 2
Вычислим меньший угол ромба:$$\beta = 180^\circ - 93^\circ = 87^\circ$$
Сторона квадрата равна $3\sqrt{2}$. Найдите диагональ этого квадрата.
- 1
Диагональ квадрата со стороной $a$ равна:$$d=a\sqrt{2}$$
- 2
Подставим значение стороны:$$d=3\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=3\cdot2=6$$