Основания трапеции равны 2 и 9. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.
- 1
Диагональ трапеции, пересекая среднюю линию, делит её на отрезки, равные половинам оснований трапеции.$$l_1=\dfrac{2}{2}=1,\quad l_2=\dfrac{9}{2}=4{,}5$$
- 2
Большим является отрезок, соответствующий большему основанию.$$l_{\max}=4{,}5$$
В равнобедренной трапеции с основаниями $AD$ и $BC$ угол $D$ равен $83^\circ$. Диагональ $AC$ образует со стороной $CD$ угол $51^\circ$. Сколько градусов составляет угол между этой диагональю и…
- 1
В равнобедренной трапеции углы при одном основании равны, поэтому угол $C$ равен углу $D$.$$\angle C = \angle D = 83^\circ$$
- 2
Угол между боковой стороной $CD$ и меньшим основанием $BC$ является внутренним углом трапеции при вершине $C$. Диагональ $AC$ делит его на угол $51^\circ$ и искомый угол.$$\angle C = 97^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Диагональ ромба равна 30, а другая диагональ равна 6. Найдите площадь ромба.
- 1
Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.$$S = \dfrac{d_1 d_2}{2}$$
- 2
Подставим значения диагоналей.$$S = \dfrac{30 \cdot 6}{2} = 90$$
В равнобедренной трапеции с основаниями $AD$ и $BC$ угол $D$ равен $80^\circ$. Диагональ $AC$ образует со стороной $CD$ угол $70^\circ$. Сколько градусов составляет угол между этой диагональю и…
- 1
Рассмотрим треугольник $ACD$. В нём известны углы при вершинах $D$ и $C$.$$\angle D = 80^\circ,\quad \angle ACD = 70^\circ$$
- 2
Найдём угол между диагональю $AC$ и большим основанием $AD$.$$\angle CAD = 180^\circ - 80^\circ - 70^\circ = 30^\circ$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В равнобедренной трапеции $ABCD$ угол $D$ равен $56^\circ$. Найдите градусную меру угла $ACD$, если луч $AC$ является биссектрисой угла $BAD$.
- 1
В равнобедренной трапеции углы при основании $AD$ равны.$$\angle BAD = \angle D = 56^\circ$$
- 2
Луч $AC$ — биссектриса угла $BAD$, поэтому он делит этот угол пополам.$$\angle CAD = \dfrac{56^\circ}{2} = 28^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В равнобедренной трапеции с основаниями $AD$ и $BC$ угол $D$ равен $67^\circ$. Диагональ $AC$ образует со стороной $CD$ угол $72^\circ$. Сколько градусов составляет угол между этой диагональю и…
- 1
Основания $AD$ и $BC$ параллельны, поэтому внутренние односторонние углы при боковой стороне $CD$ supplementary:$$\angle C + \angle D = 180^\circ$$
- 2
Находим угол при вершине $C$:$$\angle C = 180^\circ - 67^\circ = 113^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Диагонали $AC$ и $BD$ прямоугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$, $BO = 11$, $AB = 10$. Найдите $AC$.
- 1
Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам, поэтому $BO$ — половина диагонали $BD$.$$BD = 2BO$$
- 2
Вычислим длину диагонали $BD$.$$BD = 2 \cdot 11 = 22$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Диагональ равнобедренной трапеции образует с её основанием угол $45^\circ$. Найдите высоту трапеции, если её основания равны 4 и 9.
- 1
В равнобедренной трапеции боковые стороны симметричны, поэтому горизонтальная проекция диагонали равна полусумме оснований.$$x=\frac{4+9}{2}=6{,}5$$
- 2
Диагональ образует с основанием угол $45^\circ$. В прямоугольном треугольнике, образованном диагональю, высотой и её горизонтальной проекцией, катеты равны, поскольку $\tan 45^\circ=1$.$$h=x\tan 45^\circ=6{,}5\cdot 1=6{,}5$$
Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.
- 1
Найдём длину основания параллелограмма:$$a = 5 + 5 = 10$$
- 2
Используем формулу площади параллелограмма, где высота равна 12:$$S = ah = 10 \cdot 12 = 120$$
В равнобедренной трапеции с основаниями $AD$ и $BC$ угол $D$ равен $74^\circ$. Диагональ $AC$ образует со стороной $AB$ угол $21^\circ$. Сколько градусов составляет угол между этой диагональю и…
- 1
В равнобедренной трапеции углы при большем основании равны, поэтому $\angle A = \angle D = 74^\circ$.$$\angle A = 74^\circ$$
- 2
Диагональ $AC$ образует со стороной $AB$ угол $21^\circ$, поэтому угол между диагональю $AC$ и основанием $AD$ равен разности:$$\angle CAD = 74^\circ - 21^\circ = 53^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Диагональ равнобедренной трапеции образует с боковыми сторонами углы $18^\circ$ и $64^\circ$. Сколько градусов составляет угол при большем основании трапеции?
- 1
Обозначим искомый угол при большем основании через $x$. В равнобедренной трапеции углы при одном основании равны, поэтому угол при меньшем основании равен $180^\circ - x$.
- 2
Угол между диагональю и большим основанием равен $x - 18^\circ$. Это следует из того, что основания трапеции параллельны.
Ещё 2 шага — в полном решении
Основания трапеции равны 2 и 4, а высота равна 11. Найдите площадь этой трапеции.
- 1
Используем формулу площади трапеции.$$S = \dfrac{a+b}{2} \cdot h$$
- 2
Подставим значения оснований и высоты:$$S = \dfrac{2+4}{2} \cdot 11 = 3 \cdot 11 = 33$$
Высота равнобедренной трапеции, проведённая из конца её меньшего основания, делит большее основание на отрезки длиной 4 и 7. Найдите меньшее основание трапеции.
- 1
В равнобедренной трапеции высота, проведённая из конца меньшего основания, отсекает на большем основании боковой отрезок, равный соответствующему боковому отрезку с другой стороны.$$x = 4$$
- 2
Больший из данных отрезков состоит из меньшего основания и равного ему бокового отрезка.$$7 = b + 4$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Острый угол ромба равен $74^\circ$. Сколько градусов составляет угол между стороной и меньшей диагональю ромба?
- 1
Соседние углы ромба в сумме составляют $180^\circ$. Найдём тупой угол:$$180^\circ - 74^\circ = 106^\circ$$
- 2
Меньшая диагональ ромба делит тупой угол пополам.$$106^\circ : 2 = 53^\circ$$
Диагональ равнобедренной трапеции образует с её основанием угол $45^\circ$. Найдите высоту трапеции, если её основания равны $3$ и $8$.
- 1
В равнобедренной трапеции с основаниями $8$ и $3$ боковые выступы большего основания равны.$$x=\dfrac{8-3}{2}=2{,}5$$
- 2
Горизонтальная проекция диагонали от левой нижней вершины до правой верхней вершины равна сумме выступа и меньшего основания.$$d_x=2{,}5+3=5{,}5$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Диагонали $AC$ и $BD$ прямоугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$, $BO = 13$, $AB = 11$. Найдите $AC$.
- 1
Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам, поэтому $BO$ — половина диагонали $BD$.$$BD = 2BO$$
- 2
Вычислим длину диагонали $BD$:$$BD = 2 \cdot 13 = 26$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Один из углов параллелограмма равен $102^\circ$. Найдите меньший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
- 1
Смежные углы параллелограмма являются дополнительными, поэтому их сумма равна $180^\circ$.$$\alpha + \beta = 180^\circ$$
- 2
Находим второй угол:$$\beta = 180^\circ - 102^\circ = 78^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Точка $O$ является серединой стороны $CD$ квадрата $ABCD$. Радиус окружности с центром в точке $O$, проходящей через вершину $A$, равен $\sqrt{10}$. Найдите площадь квадрата $ABCD$.
- 1
Обозначим сторону квадрата через $a$. Так как $O$ — середина стороны $CD$, имеем $OD = \dfrac{a}{2}$, а $AD = a$.
- 2
Треугольник $ODA$ прямоугольный, поэтому по теореме Пифагора:$$OA^2 = OD^2 + AD^2$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Диагональ прямоугольника образует угол $50^\circ$ с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.
- 1
Диагонали прямоугольника образуют с параллельными сторонами равные углы по $50^\circ$.
- 2
Тупой угол между диагоналями равен сумме этих углов:$$50^\circ + 50^\circ = 100^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В равнобедренной трапеции с основаниями $AD$ и $BC$ угол $D$ равен $74^\circ$. Диагональ $AC$ образует со стороной $AB$ угол $26^\circ$. Сколько градусов составляет угол между этой диагональю и…
- 1
Так как трапеция равнобедренная, углы при большем основании $AD$ равны:$$\angle A = \angle D = 74^\circ$$
- 2
Диагональ $AC$ образует со стороной $AB$ угол $26^\circ$, поэтому она делит угол $A$ на углы $26^\circ$ и искомый угол между диагональю и основанием $AD$.$$\angle CAD = \angle A - \angle BAC = 74^\circ - 26^\circ = 48^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении