Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей ромба к его стороне, образует с одной из его диагоналей угол $40^\circ$. Сколько градусов составляет острый угол ромба?
- 1
Диагональ ромба, проходящая через рассматриваемую вершину, делит угол ромба пополам. Из рисунка угол между этой диагональю и перпендикуляром к стороне равен $40^\circ$.
- 2
Так как перпендикуляр к стороне образует с ней угол $90^\circ$, угол между стороной и диагональю равен $40^\circ$.$$90^\circ - 50^\circ = 40^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Один из острых углов прямоугольного треугольника равен $53^\circ$. Найдите его другой острый угол. Ответ дайте в градусах.
- 1
В прямоугольном треугольнике один угол равен $90^\circ$, поэтому сумма двух острых углов равна $90^\circ$.$$180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$$
- 2
Вычтем из суммы острых углов известный угол:$$90^\circ - 53^\circ = 37^\circ$$
Диагональ равнобедренной трапеции образует с её основанием угол $45^\circ$. Найдите высоту трапеции, если её основания равны $4$ и $7$.
- 1
В равнобедренной трапеции верхнее основание расположено симметрично относительно нижнего. Поэтому горизонтальная проекция диагонали равна половине суммы оснований.$$x=\dfrac{4+7}{2}=5.5$$
- 2
Диагональ, высота и её горизонтальная проекция образуют прямоугольный треугольник. Угол между диагональю и основанием равен $45^\circ$.$$\tan 45^\circ=\dfrac{h}{x}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В равнобедренной трапеции с основаниями $AD$ и $BC$ угол $D$ равен $78^\circ$. Диагональ $AC$ образует со стороной $CD$ угол $56^\circ$. Сколько градусов составляет угол между этой диагональю и…
- 1
Основания $AD$ и $BC$ параллельны, поэтому углы $C$ и $D$ являются односторонними при секущей $CD$ и в сумме дают $180^\circ$.$$\angle C = 180^\circ - \angle D = 180^\circ - 78^\circ = 102^\circ$$
- 2
Диагональ $AC$ делит угол $C$ на два угла: угол между $AC$ и $CD$, равный $56^\circ$, и угол между $AC$ и меньшим основанием $BC$.
Ещё 1 шаг — в полном решении
Основания трапеции равны 8 и 14, а высота равна 5. Найдите площадь этой трапеции.
- 1
Используем формулу площади трапеции:$$S = \dfrac{a+b}{2}h$$
- 2
Подставим значения оснований и высоты:$$S = \dfrac{8+14}{2}\cdot 5 = 11\cdot 5 = 55$$
Один из углов ромба равен $150^\circ$. Сколько градусов составляет угол между высотой и большей диагональю ромба?
- 1
Смежный с углом $150^\circ$ острый угол ромба равен:$$180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
- 2
Большая диагональ ромба делит острые углы пополам, поэтому угол между большей диагональю и стороной равен:$$\dfrac{30^\circ}{2} = 15^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Один из острых углов прямоугольного треугольника равен $21^\circ$. Найдите его другой острый угол. Ответ дайте в градусах.
- 1
В прямоугольном треугольнике сумма двух острых углов равна $90^\circ$.$$\alpha + \beta = 90^\circ$$
- 2
Найдём другой острый угол:$$\beta = 90^\circ - 21^\circ = 69^\circ$$
Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.
- 1
Найдём длину основания параллелограмма:$$a = 3 + 2 = 5$$
- 2
Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту:$$S = ah = 5 \cdot 4 = 20$$
Периметр ромба равен 24, а один из углов равен $30^\circ$. Найдите площадь этого ромба.
- 1
У ромба все стороны равны, поэтому длина его стороны равна:$$a=\frac{24}{4}=6$$
- 2
Используем формулу площади ромба через сторону и угол между сторонами:$$S=a^2\sin\alpha$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Диагональ равнобедренной трапеции образует с её основанием угол $45^\circ$. Найдите высоту трапеции, если её основания равны 2 и 8.
- 1
В равнобедренной трапеции верхнее основание расположено симметрично относительно нижнего. Поэтому горизонтальная проекция диагонали равна половине суммы оснований:$$x=\frac{2+8}{2}=5$$
- 2
Диагональ образует с основанием угол $45^\circ$, поэтому в образовавшемся прямоугольном треугольнике:$$\tan 45^\circ=\frac{h}{x}=\frac{h}{5}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Диагонали $AC$ и $BD$ прямоугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$, $BO = 7$, $AB = 6$. Найдите $AC$.
- 1
Точка пересечения диагоналей прямоугольника является серединой каждой диагонали.$$BD = 2BO$$
- 2
Вычислим длину диагонали $BD$.$$BD = 2 \cdot 7 = 14$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Диагональ ромба равна 12, а другая диагональ равна 3. Найдите площадь ромба.
- 1
Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.$$S = \dfrac{d_1 d_2}{2}$$
- 2
Подставим длины диагоналей:$$S = \dfrac{12 \cdot 3}{2} = 18$$
Найдите острый угол параллелограмма $ABCD$, если биссектриса угла $A$ образует со стороной $BC$ угол, равный $15^\circ$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Стороны $AD$ и $BC$ параллельны, поэтому угол между биссектрисой угла $A$ и стороной $AD$ также равен $15^\circ$.$$\angle BAD = 2 \cdot 15^\circ$$
- 2
Биссектриса делит угол $A$ пополам, следовательно, острый угол параллелограмма равен:$$\angle A = 2 \cdot 15^\circ = 30^\circ$$
В равнобедренной трапеции $ABCD$ угол $D$ равен $66^\circ$. Найдите градусную меру угла $ACD$, если луч $AC$ является биссектрисой угла $BAD$.
- 1
В равнобедренной трапеции углы при одном основании равны. Поэтому угол при вершине $A$ равен углу при вершине $D$:$$\angle BAD = \angle D = 66^\circ$$
- 2
Луч $AC$ является биссектрисой угла $BAD$, значит:$$\angle CAD = \frac{66^\circ}{2} = 33^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Один из углов параллелограмма равен $33^\circ$. Найдите больший угол этого параллелограмма.
- 1
Соседние углы параллелограмма являются supplementary, то есть их сумма равна $180^\circ$.$$\alpha + \beta = 180^\circ$$
- 2
Вычислим угол, соседний с углом $33^\circ$:$$\beta = 180^\circ - 33^\circ = 147^\circ$$
Сторона ромба равна 18, а один из углов этого ромба равен $150^\circ$. Найдите высоту этого ромба.
- 1
Высота ромба равна произведению его стороны на синус острого угла. Смежный с углом $150^\circ$ острый угол равен $30^\circ$.$$h = a\sin 30^\circ$$
- 2
Подставим длину стороны ромба:$$h = 18\cdot\frac{1}{2}=9$$
Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей ромба к его стороне, образует с одной из его диагоналей угол $34^\circ$. Сколько градусов составляет острый угол ромба?
- 1
Диагонали ромба перпендикулярны. Поэтому угол между проведённым перпендикуляром и второй диагональю равен$$90^\circ-34^\circ=56^\circ$$
- 2
Диагональ ромба делит угол при вершине пополам, значит тупой угол ромба равен$$2\cdot56^\circ=112^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Диагональ $AC$ параллелограмма $ABCD$ образует с его сторонами углы, равные $40°$ и $35°$. Найдите больший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
- 1
Диагональ $AC$ делит угол $DAB$ на два угла, равных $35°$ и $40°$. Поэтому$$\angle DAB = 35° + 40° = 75°$$
- 2
Соседние углы параллелограмма в сумме дают $180°$. Следовательно, больший угол равен$$180° - 75° = 105°$$
Найдите острый угол параллелограмма $ABCD$, если биссектриса угла $A$ образует со стороной $BC$ угол, равный $41^\circ$. Ответ дайте в градусах.
- 1
В параллелограмме противоположные стороны параллельны: $BC \parallel AD$. Поэтому угол между биссектрисой угла $A$ и стороной $AD$ равен $41^\circ$.$$\angle BAD/2 = 41^\circ$$
- 2
Биссектриса делит угол $A$ пополам, поэтому угол $A$ равен удвоенному найденному углу.$$\angle A = 2 \cdot 41^\circ = 82^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей ромба к его стороне, образует с одной из его диагоналей угол $41^\circ$. Сколько градусов составляет острый угол ромба?
- 1
Проведённый перпендикуляр образует с диагональю угол $41^\circ$, поэтому угол между стороной ромба и этой диагональю равен$$90^\circ - 41^\circ = 49^\circ$$
- 2
Диагональ ромба делит его угол пополам. Следовательно, угол ромба, который делится этой диагональю, равен$$2 \cdot 49^\circ = 98^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении