Диагональ $AC$ параллелограмма $ABCD$ образует с его сторонами углы, равные $45°$ и $40°$. Найдите больший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
- 1
Диагональ $AC$ делит угол $A$ на два угла, равных $40°$ и $45°.$$\angle A = 40° + 45° = 85°$$
- 2
Соседние углы параллелограмма supplementary, поэтому больший угол равен:$$\angle B = 180° - 85° = 95°$$
В ромбе $ABCD$ угол $ABC$ равен $102^\circ$. Найдите угол $ACD$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Соседние углы ромба supplementary, поэтому найдём угол $BCD$:$$\angle BCD = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 102^\circ = 78^\circ$$
- 2
Диагональ ромба $AC$ делит угол $BCD$ пополам:$$\angle ACD = \frac{\angle BCD}{2} = \frac{78^\circ}{2} = 39^\circ$$
В равнобедренной трапеции известны высота, меньшее основание и угол при основании (см. рисунок). Найдите большее основание.
- 1
В равнобедренной трапеции горизонтальные проекции обеих боковых сторон равны. Обозначим каждую из них через $x$.
- 2
Рассмотрим прямоугольный треугольник с высотой $5$ и углом $45^\circ$ при основании:$$\tan 45^\circ = \frac{5}{x}$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Площадь параллелограмма равна 60, а две его стороны равны 4 и 20. Найдите его высоты. В ответе укажите большую высоту.
- 1
Высота, проведённая к стороне длиной 4, равна:$$h_1 = \dfrac{S}{a_1} = \dfrac{60}{4} = 15$$
- 2
Высота, проведённая к стороне длиной 20, равна:$$h_2 = \dfrac{S}{a_2} = \dfrac{60}{20} = 3$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В равнобедренной трапеции $ABCD$ угол $D$ равен $68^\circ$. Найдите градусную меру угла $ACD$, если луч $AC$ является биссектрисой угла $BAD$.
- 1
В равнобедренной трапеции углы при основании $AD$ равны.$$\angle BAD = \angle ADC = 68^\circ$$
- 2
Так как $AC$ — биссектриса угла $BAD$, угол $CAD$ равен половине угла $BAD$.$$\angle CAD = \dfrac{68^\circ}{2} = 34^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В равнобедренной трапеции с основаниями $AD$ и $BC$ угол $D$ равен $67^\circ$. Диагональ $AC$ образует со стороной $AB$ угол $26^\circ$. Сколько градусов составляет угол между этой диагональю и…
- 1
В равнобедренной трапеции углы при большем основании равны, поэтому угол $A$ равен углу $D$.$$\angle A = \angle D = 67^\circ$$
- 2
Диагональ $AC$ делит угол $A$ на угол между сторонами $AB$ и $AC$, равный $26^\circ$, и угол между диагональю $AC$ и основанием $AD$.$$\angle CAD = \angle A - \angle BAC = 67^\circ - 26^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Сторона квадрата равна $4\sqrt{2}$. Найдите диагональ этого квадрата.
- 1
Диагональ квадрата равна произведению его стороны на $\sqrt{2}$.$$d = a\sqrt{2}$$
- 2
Подставим длину стороны и упростим выражение.$$d = 4\sqrt{2}\cdot\sqrt{2} = 4\cdot 2 = 8$$
Один из углов ромба равен $127^\circ$. Найдите меньший угол этого ромба. Ответ дайте в градусах.
- 1
Ромб является параллелограммом, поэтому его соседние углы supplementary, то есть в сумме равны $180^\circ$.$$\alpha + \beta = 180^\circ$$
- 2
Находим угол, смежный с углом $127^\circ$:$$\beta = 180^\circ - 127^\circ = 53^\circ$$
Высота равнобедренной трапеции, проведённая из конца её меньшего основания, делит большее основание на отрезки длиной 2 и 8. Найдите меньшее основание трапеции.
- 1
При проведении высоты из конца меньшего основания образуется прямоугольный треугольник. Из-за равенства боковых сторон равнобедренной трапеции выступы большего основания слева и справа равны.
- 2
Разность отрезков большего основания равна длине бокового выступа, а меньшее основание получается как разность данных отрезков:$$8 - 2 = 6$$
Основания трапеции равны 5 и 13, а высота равна 9. Найдите площадь этой трапеции.
- 1
Используем формулу площади трапеции.$$S = \dfrac{a+b}{2} \cdot h$$
- 2
Подставим значения оснований и высоты.$$S = \dfrac{5+13}{2} \cdot 9 = 9 \cdot 9 = 81$$
Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна $196^\circ$. Найдите меньший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
- 1
В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны. Так как сумма двух углов равна $196^\circ$, это сумма двух равных больших углов.$$2\alpha = 196^\circ$$
- 2
Найдём один из больших углов.$$\alpha = \frac{196^\circ}{2} = 98^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Диагональ ромба равна 20, а другая диагональ равна 14. Найдите площадь ромба.
- 1
Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.$$S = \dfrac{d_1 d_2}{2}$$
- 2
Подставим значения диагоналей:$$S = \dfrac{20 \cdot 14}{2} = 140$$
Диагональ ромба равна 8, а сторона ромба равна 5. Найдите площадь ромба.
- 1
Половины диагоналей и сторона ромба образуют прямоугольный треугольник.$$5^2 = 4^2 + \left(\dfrac{d_2}{2}\right)^2$$
- 2
Найдём вторую диагональ:$$\left(\dfrac{d_2}{2}\right)^2 = 25-16=9,\quad d_2=6$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Основания трапеции равны 4 и 10, а высота равна 5. Найдите площадь этой трапеции.
- 1
Площадь трапеции равна половине произведения высоты на сумму оснований.$$S = \dfrac{(a+b)h}{2}$$
- 2
Подставим значения оснований и высоты.$$S = \dfrac{(4+10)\cdot 5}{2} = 35$$
В ромбе $ABCD$ угол $ABC$ равен $134^\circ$. Найдите угол $ACD$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Соседние углы ромба в сумме дают $180^\circ$, поэтому$$\angle BCD = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 134^\circ = 46^\circ$$
- 2
Диагональ ромба $AC$ делит угол $BCD$ пополам.$$\angle ACD = \dfrac{\angle BCD}{2} = \dfrac{46^\circ}{2} = 23^\circ$$
Один из углов равнобедренной трапеции равен $74^\circ$. Найдите больший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
- 1
Соседние углы трапеции, прилежащие к одной боковой стороне, являются внутренними односторонними углами при параллельных основаниях.$$\alpha + \beta = 180^\circ$$
- 2
Вычислим угол, дополнительный к углу $74^\circ$:$$\beta = 180^\circ - 74^\circ = 106^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Диагональ ромба равна 40, а другая диагональ равна 12. Найдите площадь ромба.
- 1
Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.$$S = \dfrac{d_1 d_2}{2}$$
- 2
Подставим значения диагоналей.$$S = \dfrac{40 \cdot 12}{2} = 240$$
Один из углов ромба равен $114^\circ$. Сколько градусов составляет угол между высотой и большей диагональю ромба?
- 1
Соседние углы ромба в сумме дают $180^\circ$, поэтому острый угол равен:$$180^\circ-114^\circ=66^\circ$$
- 2
Большая диагональ ромба делит острый угол пополам. Угол между большей диагональю и стороной равен:$$\frac{66^\circ}{2}=33^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Сторона квадрата равна $7\sqrt{2}$. Найдите диагональ этого квадрата.
- 1
Диагональ квадрата выражается через его сторону формулой:$$d=a\sqrt{2}$$
- 2
Подставим значение стороны квадрата:$$d=7\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=7\cdot2=14$$
Острый угол ромба равен $56^\circ$. Сколько градусов составляет угол между стороной и меньшей диагональю ромба?
- 1
Соседние углы ромба являются дополнительными, поэтому тупой угол равен:$$180^\circ - 56^\circ = 124^\circ$$
- 2
Меньшая диагональ ромба проходит через его тупые углы и делит такой угол пополам.$$124^\circ : 2 = 62^\circ$$