Основания трапеции равны 1 и 5, а высота равна 3. Найдите среднюю линию этой трапеции.
- 1
Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований.$$m = \dfrac{a+b}{2}$$
- 2
Подставим длины оснований в формулу.$$m = \dfrac{1+5}{2} = 3$$
Один из углов прямоугольной трапеции равен $113^\circ$. Найдите меньший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
- 1
В прямоугольной трапеции два угла прямые и равны $90^\circ$. Два других угла являются смежными, поэтому их сумма равна $180^\circ$.$$180^\circ - 113^\circ = 67^\circ$$
- 2
Угол $67^\circ$ меньше прямого угла $90^\circ$, поэтому это меньший угол трапеции.
Основания трапеции равны 17 и 19. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.
- 1
Диагональ трапеции делит её среднюю линию на два отрезка, равных половинам оснований.$$l_1=\dfrac{17}{2},\quad l_2=\dfrac{19}{2}$$
- 2
Большим является отрезок, соответствующий большему основанию.$$l_{\max}=\dfrac{19}{2}=9{,}5$$
В ромбе $ABCD$ угол $ABC$ равен $156^\circ$. Найдите угол $ACD$. Ответ дайте в градусах.
- 1
В ромбе противоположные стороны параллельны, поэтому соседние углы supplementary:$$\angle BCD = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 156^\circ = 24^\circ$$
- 2
Диагональ ромба $AC$ делит угол $BCD$ пополам:$$\angle ACD = \dfrac{\angle BCD}{2} = \dfrac{24^\circ}{2} = 12^\circ$$
Один из углов равнобедренной трапеции равен $66^\circ$. Найдите больший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
- 1
Соседние углы трапеции, прилежащие к одной боковой стороне, в сумме дают $180^\circ$.$$\alpha + \beta = 180^\circ$$
- 2
Если один угол равен $66^\circ$, то больший угол равен:$$\beta = 180^\circ - 66^\circ = 114^\circ$$
Диагональ равнобедренной трапеции образует с боковыми сторонами углы $26^\circ$ и $84^\circ$. Сколько градусов составляет угол при большем основании трапеции?
- 1
В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны, а углы при боковой стороне в сумме составляют $180^\circ$.
- 2
Разность углов, образованных диагональю с боковыми сторонами, равна $84^\circ-26^\circ=58^\circ$.
Ещё 1 шаг — в полном решении
Один из углов параллелограмма равен $111^\circ$. Найдите меньший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
- 1
Соседние углы параллелограмма являются supplementary, то есть в сумме дают $180^\circ$.$$180^\circ - 111^\circ = 69^\circ$$
- 2
Угол $69^\circ$ меньше угла $111^\circ$, поэтому он является меньшим углом параллелограмма.
Сторона квадрата равна $8\sqrt{2}$. Найдите диагональ этого квадрата.
- 1
Диагональ квадрата равна произведению его стороны на $\sqrt{2}$.$$d = a\sqrt{2}$$
- 2
Подставим значение стороны и упростим выражение.$$d = 8\sqrt{2}\cdot\sqrt{2} = 8\cdot 2 = 16$$
Найдите острый угол параллелограмма $ABCD$, если биссектриса угла $A$ образует со стороной $BC$ угол, равный $21^\circ$. Ответ дайте в градусах.
- 1
В параллелограмме $ABCD$ стороны $AD$ и $BC$ параллельны. Поэтому угол между биссектрисой угла $A$ и стороной $AD$ равен углу между этой биссектрисой и стороной $BC$, то есть $21^\circ$.$$\angle(\text{биссектриса }A, AD)=21^\circ$$
- 2
Биссектриса делит угол $A$ на два равных угла.$$\angle A=2\cdot21^\circ=42^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Точка $O$ является серединой стороны $CD$ квадрата $ABCD$. Радиус окружности с центром в точке $O$, проходящей через вершину $A$, равен $2{,}5$. Найдите площадь квадрата $ABCD$.
- 1
Обозначим сторону квадрата через $a$. Так как $O$ — середина стороны $CD$, то $OD = \dfrac{a}{2}$, а $AD = a$.
- 2
Треугольник $AOD$ прямоугольный, поскольку стороны квадрата перпендикулярны. По теореме Пифагора:$$OA^2 = AD^2 + OD^2 = a^2 + \left(\dfrac{a}{2}\right)^2$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Сторона ромба равна 14, а один из углов этого ромба равен $150^\circ$. Найдите высоту этого ромба.
- 1
Высота ромба образует с его стороной прямоугольный треугольник. Острый угол ромба равен:$$180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
- 2
Выразим высоту через сторону ромба и синус острого угла:$$h = 14\sin 30^\circ = 14 \cdot \frac{1}{2} = 7$$
Площадь параллелограмма равна 54, а две его стороны равны 9 и 18. Найдите его высоты. В ответе укажите меньшую высоту.
- 1
Высоту, проведённую к стороне длиной 9, найдём по формуле площади параллелограмма.$$h_1 = \dfrac{S}{a} = \dfrac{54}{9} = 6$$
- 2
Высоту, проведённую к стороне длиной 18, найдём аналогично.$$h_2 = \dfrac{S}{b} = \dfrac{54}{18} = 3$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Диагональ равнобедренной трапеции образует с боковыми сторонами углы $30^\circ$ и $80^\circ$. Сколько градусов составляет угол при большем основании трапеции?
- 1
Пусть $x$ — угол при большем основании трапеции. Тогда угол при меньшем основании, прилежащий к той же боковой стороне, равен $180^\circ-x$.
- 2
Диагональ делит угол при меньшем основании. Так как одна часть этого угла равна $80^\circ$, другая часть равна $180^\circ-x-80^\circ=100^\circ-x$.
Ещё 2 шага — в полном решении
Один из углов параллелограмма равен $91^\circ$. Найдите меньший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
- 1
Соседние углы параллелограмма являются смежными, поэтому их сумма равна $180^\circ$.$$\alpha + \beta = 180^\circ$$
- 2
Вычислим второй угол:$$\beta = 180^\circ - 91^\circ = 89^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна $220^\circ$. Найдите меньший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
- 1
В равнобедренной трапеции углы при каждом основании попарно равны. Так как сумма двух углов равна $220^\circ$, это два равных тупых угла.$$2\alpha = 220^\circ$$
- 2
Находим величину тупого угла:$$\alpha = \frac{220^\circ}{2} = 110^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна $352^\circ$. Найдите меньший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
- 1
В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны. Так как сумма двух углов равна $352^\circ$, каждый из этих равных углов равен:$$352^\circ : 2 = 176^\circ$$
- 2
Соседние углы трапеции в сумме дают $180^\circ$, поэтому меньший угол равен:$$180^\circ - 176^\circ = 4^\circ$$
Диагональ ромба равна 60, а его сторона равна 50. Найдите площадь ромба.
- 1
Половина данной диагонали равна $60:2=30$.
- 2
Половины диагоналей и сторона ромба образуют прямоугольный треугольник. Найдём половину второй диагонали:$$x=\sqrt{50^2-30^2}=\sqrt{1600}=40$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Диагональ $AC$ параллелограмма $ABCD$ образует с его сторонами углы, равные $30^\circ$ и $45^\circ$. Найдите больший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
- 1
Диагональ $AC$ делит угол $A$ параллелограмма на два угла: $30^\circ$ и $45^\circ$.$$\angle A=30^\circ+45^\circ=75^\circ$$
- 2
Соседние углы параллелограмма supplementary, поэтому больший угол равен разности между $180^\circ$ и углом $A$.$$\angle B=180^\circ-75^\circ=105^\circ$$
Сторона ромба равна 4, а один из углов этого ромба равен $150^\circ$. Найдите высоту этого ромба.
- 1
Высота ромба выражается через сторону и синус угла между стороной и основанием.$$h = a\sin\alpha$$
- 2
Подставим известные значения стороны и угла:$$h = 4\sin 150^\circ = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$$
Основания трапеции равны 8 и 17. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.
- 1
Диагональ трапеции пересекает её среднюю линию и делит её на два отрезка, равных половинам оснований трапеции.$$l_1=\frac{a}{2},\quad l_2=\frac{b}{2}$$
- 2
Вычислим длины получившихся отрезков:$$l_1=\frac{8}{2}=4,\quad l_2=\frac{17}{2}=8{,}5$$
Ещё 1 шаг — в полном решении