Диагонали $AC$ и $BD$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Известно, что $AC = 14$, $BD = 18$, $AB = 5$. Найдите $DO$.
- 1
Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.$$DO = \dfrac{BD}{2}$$
- 2
Подставим длину диагонали $BD$.$$DO = \dfrac{18}{2} = 9$$
В равнобедренной трапеции с основаниями $AD$ и $BC$ угол $D$ равен $74^\circ$. Диагональ $AC$ образует со стороной $CD$ угол $58^\circ$. Сколько градусов составляет угол между этой диагональю и…
- 1
Основания трапеции параллельны, поэтому углы при боковой стороне $CD$ являются внутренними односторонними и в сумме дают $180^\circ$.$$\angle BCD = 180^\circ - \angle D = 180^\circ - 74^\circ = 106^\circ$$
- 2
Диагональ $AC$ делит угол $BCD$ на угол между диагональю и стороной $CD$, равный $58^\circ$, и искомый угол между диагональю и основанием $BC$.$$\angle ACB = \angle BCD - \angle ACD = 106^\circ - 58^\circ = 48^\circ$$
Один из углов параллелограмма равен $26^\circ$. Найдите больший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
- 1
Соседние углы параллелограмма являются дополнительными.$$\alpha + \beta = 180^\circ$$
- 2
Находим больший угол:$$\beta = 180^\circ - 26^\circ = 154^\circ$$
Один из углов ромба равен $146^\circ$. Сколько градусов составляет угол между высотой и большей диагональю ромба?
- 1
Соседние углы ромба в сумме дают $180^\circ$, поэтому острый угол ромба равен:$$180^\circ - 146^\circ = 34^\circ$$
- 2
Большая диагональ ромба делит острые углы пополам. Значит, угол между большей диагональю и стороной равен:$$\frac{34^\circ}{2} = 17^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Диагональ прямоугольника образует угол $51^\circ$ с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.
- 1
Диагонали прямоугольника образуют с одной и той же стороной равные по величине углы, расположенные по разные стороны от этой стороны. Поэтому тупой угол между диагоналями равен$$51^\circ + 51^\circ = 102^\circ$$
- 2
Острый угол между диагоналями является смежным с тупым:$$180^\circ - 102^\circ = 78^\circ$$
Диагональ равнобедренной трапеции образует с её основанием угол $45^\circ$. Найдите высоту трапеции, если её основания равны 2 и 5.
- 1
В равнобедренной трапеции меньшее основание расположено симметрично относительно большего, поэтому горизонтальная проекция диагонали равна сумме меньшего основания и половины разности оснований.$$x = 2 + \dfrac{5 - 2}{2} = 3{,}5$$
- 2
Диагональ образует с основанием угол $45^\circ$. В получившемся прямоугольном треугольнике катет, равный высоте трапеции, и горизонтальная проекция диагонали равны.$$h = x\tan 45^\circ = 3{,}5 \cdot 1 = 3{,}5$$
Площадь параллелограмма равна 30, а две его стороны равны 6 и 10. Найдите его высоты. В ответе укажите большую высоту.
- 1
Высоту параллелограмма находим как отношение площади к длине соответствующей стороны.$$h = \dfrac{S}{a}$$
- 2
Для стороны длиной 6 высота равна:$$h_1 = \dfrac{30}{6} = 5$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В равнобедренной трапеции с основаниями $AD$ и $BC$ угол $D$ равен $61°$. Диагональ $AC$ образует со стороной $CD$ угол $81°$. Сколько градусов составляет угол между этой диагональю и меньшим…
- 1
Рассмотрим треугольник $ACD$. В нём известны углы $CDA = 61°$ и $ACD = 81°$.
- 2
Найдём угол $CAD$ по сумме углов треугольника.$$\angle CAD = 180° - 61° - 81° = 38°$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Основания трапеции равны 7 и 11, а высота равна 7. Найдите площадь этой трапеции.
- 1
Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту.$$S = \dfrac{(a+b)h}{2}$$
- 2
Подставим значения оснований и высоты.$$S = \dfrac{(7+11) \cdot 7}{2} = \dfrac{18 \cdot 7}{2} = 63$$
Высота равнобедренной трапеции, проведённая из конца её меньшего основания, делит большее основание на отрезки длиной 3 и 5. Найдите меньшее основание трапеции.
- 1
Опустим высоту из конца меньшего основания. Она образует прямоугольный треугольник у одной боковой стороны. В равнобедренной трапеции соответствующий треугольник у другой боковой стороны равен ему, поэтому боковые части большего основания…
- 2
Меньшее основание является разностью отрезков, на которые высота делит большее основание:$$5 - 3 = 2$$
Диагонали $AC$ и $BD$ прямоугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Известно, что $BO = 8$, $AB = 9$. Найдите $AC$.
- 1
Точка $O$ — точка пересечения диагоналей прямоугольника, поэтому она делит диагональ $BD$ пополам.$$BD = 2BO = 2 \cdot 8 = 16$$
- 2
Диагонали прямоугольника равны.$$AC = BD = 16$$
Высота равнобедренной трапеции, проведённая из конца её меньшего основания, делит большее основание на отрезки длиной 3 и 6. Найдите меньшее основание трапеции.
- 1
В равнобедренной трапеции боковые стороны равны, поэтому отрезки большего основания, выступающие за пределы меньшего основания, равны.
- 2
По условию эти отрезки имеют длины 3 и 6. Разность оснований равна разности этих отрезков:$$6 - 3 = 3$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Один из углов равнобедренной трапеции равен $99^\circ$. Найдите меньший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
- 1
В равнобедренной трапеции углы, прилежащие к одной боковой стороне, являются односторонними при параллельных основаниях, поэтому их сумма равна $180^\circ$.$$180^\circ$$
- 2
Вычтем из $180^\circ$ данный угол:$$180^\circ - 99^\circ = 81^\circ$$
Один из углов параллелограмма равен $96^\circ$. Найдите меньший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
- 1
Соседние углы параллелограмма являются дополнительными.$$\alpha + \beta = 180^\circ$$
- 2
Находим второй угол параллелограмма:$$\beta = 180^\circ - 96^\circ = 84^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Острый угол ромба равен $52^\circ$. Сколько градусов составляет угол между стороной и меньшей диагональю ромба?
- 1
Соседний угол ромба supplementary с острым углом:$$\beta = 180^\circ - 52^\circ = 128^\circ$$
- 2
Меньшая диагональ ромба делит тупой угол пополам, поэтому искомый угол равен:$$\alpha = \dfrac{128^\circ}{2} = 64^\circ$$
Диагональ равнобедренной трапеции образует с боковыми сторонами углы $25^\circ$ и $67^\circ$. Сколько градусов составляет угол при большем основании трапеции?
- 1
Пусть $\alpha$ — угол при большем основании, а $x$ — угол между диагональю и большим основанием. Так как трапеция равнобедренная, угол между боковой стороной и диагональю у большего основания равен $\alpha-x$.$$\alpha-x=25^\circ$$
- 2
Угол между диагональю и другой боковой стороной равен $67^\circ$. С учётом параллельности оснований получаем:$$180^\circ-\alpha-x=67^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей ромба к его стороне, образует с одной из его диагоналей угол $32^\circ$. Сколько градусов составляет острый угол ромба?
- 1
Перпендикуляр образует с диагональю угол $32^\circ$. Поэтому угол между стороной ромба и этой диагональю равен$$90^\circ - 32^\circ = 58^\circ$$
- 2
Диагональ ромба делит угол при вершине пополам, поэтому тупой угол ромба равен$$2 \cdot 58^\circ = 116^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Сторона ромба равна 38, а один из углов этого ромба равен $150^\circ$. Найдите высоту этого ромба.
- 1
Высота ромба выражается через его сторону и угол между сторонами:$$h = a\sin\alpha$$
- 2
Подставим значения стороны и угла:$$h = 38\sin150^\circ = 38\cdot\frac{1}{2}=19$$
Один из углов параллелограмма равен $41^\circ$. Найдите больший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
- 1
Соседние углы параллелограмма являются дополнительными.$$\alpha + \beta = 180^\circ$$
- 2
Вычислим второй угол:$$\beta = 180^\circ - 41^\circ = 139^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.
- 1
Найдём длину основания параллелограмма:$$a = 3 + 5 = 8$$
- 2
Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту:$$S = ah = 8 \cdot 12 = 96$$