В ромбе $ABCD$ угол $ABC$ равен $40^\circ$. Найдите угол $ACD$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Противоположные углы ромба равны, поэтому угол $CDA$ равен углу $ABC$.$$\angle CDA = \angle ABC = 40^\circ$$
- 2
Смежные углы ромба в сумме дают $180^\circ$, поэтому угол $DAB$ равен:$$\angle DAB = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Острый угол ромба равен $78^\circ$. Сколько градусов составляет угол между стороной и меньшей диагональю ромба?
- 1
Тупой угол ромба является смежным с острым углом.$$\alpha = 180^\circ - 78^\circ = 102^\circ$$
- 2
Меньшая диагональ ромба делит тупой угол пополам.$$\beta = \dfrac{102^\circ}{2} = 51^\circ$$
Основания трапеции равны 5 и 11, а высота равна 7. Найдите среднюю линию этой трапеции.
- 1
Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований.$$m = \frac{a+b}{2}$$
- 2
Подставим значения оснований:$$m = \frac{5+11}{2} = 8$$
Один из углов ромба равен $43^\circ$. Найдите больший угол этого ромба. Ответ дайте в градусах.
- 1
Ромб является параллелограммом, поэтому сумма его соседних углов равна $180^\circ$.$$\alpha + \beta = 180^\circ$$
- 2
Находим больший угол ромба:$$\beta = 180^\circ - 43^\circ = 137^\circ$$
Диагональ равнобедренной трапеции образует с боковыми сторонами углы $24^\circ$ и $78^\circ$. Сколько градусов составляет угол при большем основании трапеции?
- 1
Обозначим угол при большем основании через $x$. Так как трапеция равнобедренная, углы при меньшем основании равны $180^\circ-x$.
- 2
Рассмотрим треугольник, образованный диагональю и боковыми сторонами. Его углы выражаются через $x$: $24^\circ$, $78^\circ$ и угол при основании, равный $180^\circ-x-78^\circ$.
Ещё 2 шага — в полном решении
Один из углов прямоугольной трапеции равен $51^\circ$. Найдите больший угол этой трапеции.
- 1
В прямоугольной трапеции два угла равны $90^\circ$. Два других угла, прилежащих к наклонной боковой стороне, являются односторонними при параллельных основаниях, поэтому их сумма равна $180^\circ$.$$\alpha + \beta = 180^\circ$$
- 2
Находим второй угол трапеции:$$\beta = 180^\circ - 51^\circ = 129^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Острый угол ромба равен $66°$. Сколько градусов составляет угол между стороной и меньшей диагональю ромба?
- 1
Меньшая диагональ ромба соединяет вершины с тупыми углами и делит эти углы пополам.
- 2
Найдём тупой угол ромба как угол, соседний с острым:$$180° - 66° = 114°$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В равнобедренной трапеции с основаниями $AD$ и $BC$ угол $D$ равен $83^\circ$. Диагональ $AC$ образует со стороной $AB$ угол $37^\circ$. Сколько градусов составляет угол между этой диагональю и…
- 1
В равнобедренной трапеции углы при большем основании равны, поэтому угол $A$ равен углу $D$.$$\angle A = \angle D = 83^\circ$$
- 2
Диагональ $AC$ образует со стороной $AB$ угол $37^\circ$, значит она делит угол $A$ на два угла: $37^\circ$ и искомый.$$\angle CAD = \angle A - \angle BAC = 83^\circ - 37^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Сторона ромба равна 24, а один из углов этого ромба равен $150^\circ$. Найдите высоту этого ромба.
- 1
Высота ромба равна произведению его стороны на синус острого угла. Острый угол равен $30^\circ$.$$30^\circ = 180^\circ - 150^\circ$$
- 2
Вычислим высоту ромба:$$h = 24\sin 30^\circ = 24 \cdot \frac{1}{2} = 12$$
Сторона ромба равна 54, а один из углов этого ромба равен $150^\circ$. Найдите высоту этого ромба.
- 1
Высота ромба равна произведению его стороны на синус угла между стороной и основанием.$$h = a\sin\alpha$$
- 2
Подставим значения стороны и угла.$$h = 54\sin 150^\circ = 54\cdot\frac{1}{2}=27$$
Один из углов прямоугольной трапеции равен $37^\circ$. Найдите больший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
- 1
В прямоугольной трапеции два угла равны $90^\circ$. Два оставшихся угла являются односторонними при параллельных основаниях, поэтому их сумма равна $180^\circ$.$$\alpha + \beta = 180^\circ$$
- 2
Если один из этих углов равен $37^\circ$, то второй, больший угол равен:$$\beta = 180^\circ - 37^\circ = 143^\circ$$
В равнобедренной трапеции $ABCD$ угол $D$ равен $54^\circ$. Найдите градусную меру угла $ACD$, если луч $AC$ является биссектрисой угла $BAD$.
- 1
В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны. Поэтому $\angle BAD = \angle ADC = 54^\circ$.$$\angle BAD = 54^\circ$$
- 2
Луч $AC$ является биссектрисой угла $BAD$, значит он делит этот угол пополам.$$\angle CAD = \frac{54^\circ}{2} = 27^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна $268^\circ$. Найдите меньший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
- 1
В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны. Поэтому два угла, сумма которых равна $268^\circ$, — равные большие углы.$$268^\circ : 2 = 134^\circ$$
- 2
Соседние углы трапеции в сумме дают $180^\circ$.$$180^\circ - 134^\circ = 46^\circ$$
Один из углов ромба равен $134^\circ$. Сколько градусов составляет угол между высотой и большей диагональю ромба?
- 1
Большая диагональ ромба проходит через вершины его тупых углов и делит их пополам.$$134^\circ : 2 = 67^\circ$$
- 2
Высота ромба перпендикулярна стороне. Поэтому угол между высотой и диагональю дополняет угол между диагональю и стороной до $90^\circ$; с учётом расположения углов получаем искомое значение $67^\circ$.$$90^\circ - 23^\circ = 67^\circ$$
Сторона квадрата равна $9\sqrt{2}$. Найдите диагональ этого квадрата.
- 1
Диагональ квадрата равна произведению его стороны на $\sqrt{2}$.$$d = a\sqrt{2}$$
- 2
Подставим длину стороны и упростим выражение.$$d = 9\sqrt{2}\cdot\sqrt{2} = 9\cdot 2 = 18$$
В равнобедренной трапеции $ABCD$ угол $D$ равен $64^\circ$. Найдите градусную меру угла $ACD$, если луч $AC$ является биссектрисой угла $BAD$.
- 1
В равнобедренной трапеции углы при основании $AD$ равны.$$\angle BAD = \angle ADC = 64^\circ$$
- 2
Луч $AC$ является биссектрисой угла $BAD$, поэтому угол $CAD$ равен половине угла $BAD$.$$\angle CAD = \dfrac{64^\circ}{2} = 32^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В ромбе $ABCD$ угол $ABC$ равен $146^\circ$. Найдите угол $ACD$. Ответ дайте в градусах.
- 1
В ромбе противоположные углы равны, а соседние углы supplementary.$$\angle DAB=180^\circ-\angle ABC=180^\circ-146^\circ=34^\circ$$
- 2
Диагональ ромба $AC$ делит углы $A$ и $C$ пополам.$$\angle ACD=\dfrac{\angle DAB}{2}=\dfrac{34^\circ}{2}=17^\circ$$
Основания трапеции равны 3 и 11. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.
- 1
Найдём длину средней линии трапеции как полусумму оснований.$$m = \dfrac{3+11}{2} = 7$$
- 2
Диагональ делит среднюю линию на два отрезка, длины которых равны половинам оснований трапеции.$$l_1 = \dfrac{3}{2} = 1{,}5, \quad l_2 = \dfrac{11}{2} = 5{,}5$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В равнобедренной трапеции известны высота $5$, большее основание $14$ и угол при основании $45^\circ$ (см. рисунок). Найдите меньшее основание.
- 1
Опустим высоты из концов меньшего основания. Получатся два равных прямоугольных треугольника, в каждом из которых высота равна $5$, а угол при большем основании равен $45^\circ$.
- 2
Найдём горизонтальную проекцию каждой боковой стороны:$$x = \frac{5}{\tan 45^\circ} = 5$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Периметр ромба равен 56, а один из углов равен $30^\circ$. Найдите площадь этого ромба.
- 1
У ромба четыре равные стороны, поэтому найдём длину его стороны:$$a = \frac{56}{4} = 14$$
- 2
Площадь ромба равна произведению квадрата стороны на синус угла между сторонами:$$S = a^2\sin 30^\circ = 14^2 \cdot \frac{1}{2} = 98$$