ФИПИ тапсырмаларының шешімдері ОГЭ по математика: «Үшбұрыштар» — жауаптарымен

Расстояние до ортоцентра

На стороне $BC$ остроугольного треугольника $ABC$ как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту $AD$ в точке $M$, $AD = 45$, $MD = 15$. $H$ — точка пересечения высот треугольника…

1. 1
   Расположим координатные оси так, чтобы точка $D$ была началом координат, сторона $BC$ лежала на оси $Ox$, а высота $AD$ — на оси $Oy$. Тогда $A=(0,45)$, $M=(0,15)$, а точки $B$ и $C$ имеют координаты $B=(b,0)$ и $C=(c,0)$.
2. 2
   Уравнение окружности, диаметр которой имеет концы $B=(b,0)$ и $C=(c,0)$, имеет вид $x^2+y^2-(b+c)x+bc=0$.$$x^2+y^2-(b+c)x+bc=0$$

Ещё 4 қадам — толық шешімде

Расстояние между хордами

Окружности радиусов 33 и 99 касаются внешним образом. Точки $A$ и $B$ лежат на первой окружности, точки $C$ и $D$ — на второй. При этом $AC$ и $BD$ — общие касательные окружностей. Найдите…

1. 1
   Обозначим центры окружностей через $O_1$ и $O_2$. Так как окружности касаются внешним образом, расстояние между их центрами равно сумме радиусов:$$O_1O_2=33+99=132$$
2. 2
   Проведём радиусы $O_1A$ и $O_2C$. Они перпендикулярны общей касательной $AC$, поэтому треугольник, образованный линией центров и радиусами к касательной, является прямоугольным. Разность радиусов равна:$$O_2C-O_1A=99-33=66$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Диаметр описанной окружности

Середина $M$ стороны $AD$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ равноудалена от всех его вершин. Найдите $AD$, если $BC = 14$, а углы $B$ и $C$ четырёхугольника равны соответственно $110^\circ$ и…

1. 1
   Так как точка $M$ равноудалена от всех вершин четырёхугольника, она является центром окружности, проходящей через $A$, $B$, $C$ и $D$. Поскольку $M$ — середина $AD$, отрезок $AD$ является диаметром этой окружности.$$AD = 2R$$
2. 2
   По теореме о вписанном угле угол $ABD$, опирающийся на диаметр $AD$, равен $90^\circ$. Поэтому угол $CBD$ равен разности углов $ABC$ и $ABD$.$$\angle CBD = 110^\circ - 90^\circ = 20^\circ$$

Ещё 4 қадам — толық шешімде

Общие касательные окружностей

Окружности с центрами в точках $I$ и $J$ не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в…

1. 1
   Обозначим радиусы окружностей с центрами $I$ и $J$ через $r_1$ и $r_2$. Пусть внутренняя общая касательная пересекает отрезок $IJ$ в точке $K$.
2. 2
   Проведём из точек $I$ и $J$ перпендикуляры к общей касательной. Их длины равны радиусам соответствующих окружностей, поскольку радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.$$IA=r_1,\quad JB=r_2$$

Ещё 3 қадам — толық шешімде

Расстояние до хорды окружности

Отрезки $AB$ и $CD$ являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды $CD$, если $AB = 14$, $CD = 48$, а расстояние от центра окружности до хорды $AB$ равно 24.

1. 1
   Перпендикуляр, проведённый из центра окружности к хорде, делит хорду пополам. Поэтому половина хорды $AB$ равна $7$.
2. 2
   Рассмотрим прямоугольный треугольник, в котором гипотенуза — радиус окружности, один катет — расстояние от центра до хорды $AB$, а другой катет равен половине хорды $AB$.$$R^2 = 24^2 + 7^2 = 576 + 49 = 625$$

Ещё 3 қадам — толық шешімде

Диаметр окружности в треугольнике

Окружность с центром на стороне $AC$ треугольника $ABC$ проходит через вершину $C$ и касается прямой $AB$ в точке $B$. Найдите диаметр окружности, если $AB = 2$, $AC = 8$.

1. 1
   Обозначим центр окружности через $O$, а её радиус — через $r$. Так как окружность проходит через точки $B$ и $C$, то $OB = OC = r$.
2. 2
   Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому $OB \perp AB$. Следовательно, треугольник $AOB$ прямоугольный.

Ещё 4 қадам — толық шешімде

Расстояние до ортоцентра

На стороне $BC$ остроугольного треугольника $ABC$ как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту $AD$ в точке $M$, $AD = 81$, $MD = 9$. $H$ — точка пересечения высот треугольника…

1. 1
   Так как $AD=81$ и $MD=9$, то $AM=81-9=72$. Введём координаты: $D=(0,0)$, $A=(0,81)$, $M=(0,72)$, $B=(b,0)$, $C=(c,0)$.
2. 2
   Уравнение окружности с диаметром $BC$ имеет вид $x^2+y^2-(b+c)x+bc=0$. Точка $M=(0,72)$ лежит на этой окружности, поэтому$$72^2+bc=0,\qquad bc=-5184$$

Ещё 3 қадам — толық шешімде

Длина отрезка CD

В треугольнике $ABC$ известны длины сторон $AB = 12$, $AC = 72$, точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$. Прямая $BD$, перпендикулярная прямой $AO$, пересекает сторону $AC$…

1. 1
   Разместим начало координат в точке $A$, а положительное направление оси $Ox$ выберем вдоль луча $AO$. Пусть $AO = R$. Тогда уравнение окружности, проходящей через $A$ и имеющей центр $O(R,0)$, имеет вид:$$x^2+y^2=2Rx$$
2. 2
   Пусть координаты точки $B$ равны $(x_B,y_B)$. Так как $B$ лежит на окружности, а $AB=12$, получаем:$$x_B^2+y_B^2=AB^2=144=2Rx_B$$

Ещё 6 қадам — толық шешімде

Длина отрезка на стороне треугольника

В треугольнике $ABC$ известны длины сторон $AB = 15$, $AC = 25$, точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$. Прямая $BD$, перпендикулярная прямой $AO$, пересекает сторону $AC$…

1. 1
   Обозначим радиус описанной окружности через $R$, то есть $AO = R$. Введём направление вдоль прямой $AO$ и рассмотрим проекции отрезков $AB$ и $AC$ на эту прямую.
2. 2
   Пусть проекция точки $B$ на направление $AO$ равна $x_B$. Так как $B$ лежит на окружности с центром $O$, из равенства расстояний $AO = BO = R$ получаем:$$AB^2 = 2R x_B$$

Ещё 4 қадам — толық шешімде

Диаметр окружности в треугольнике

Окружность с центром на стороне $AC$ треугольника $ABC$ проходит через вершину $C$ и касается прямой $AB$ в точке $B$. Найдите диаметр окружности, если $AB = 3$, $AC = 9$.

1. 1
   Обозначим центр окружности через $O$, а её радиус через $r$. Поскольку окружность проходит через точку $C$, имеем $OC = r$. Центр $O$ лежит на отрезке $AC$, поэтому $AO + OC = AC$.
2. 2
   Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, $OB \perp AB$, и треугольник $AOB$ прямоугольный.

Ещё 3 қадам — толық шешімде

Длина отрезка на стороне треугольника

В треугольнике $ABC$ известны длины сторон $AB = 14$, $AC = 98$, точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$. Прямая $BD$, перпендикулярная прямой $AO$, пересекает сторону $AC$…

1. 1
   Обозначим радиус описанной окружности через $R$. Выберем направление $AO$ за ось проекций. Для любой точки $X$ описанной окружности из прямоугольного треугольника, образованного радиусом $OX$ и проекцией хорды $AX$, получаем: проекция…$$\operatorname{pr}_{AO} AX = \frac{AX^2}{2R}$$
2. 2
   Так как $BD \perp AO$, прямая $BD$ является линией уровня проекций на $AO$. Следовательно, точки $B$ и $D$ имеют одинаковые проекции на $AO$. Поскольку точка $D$ лежит на отрезке $AC$, её проекция равна $\dfrac{AD}{AC}$ от проекции…$$\frac{AD}{AC}\cdot\frac{AC^2}{2R}=\frac{AB^2}{2R}$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Гипотенуза прямоугольного треугольника

Катеты прямоугольного треугольника равны 60 и 80. Найдите гипотенузу этого треугольника.

1. 1
   По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.$$c^2 = 60^2 + 80^2$$
2. 2
   Находим гипотенузу.$$c = \sqrt{3600 + 6400} = \sqrt{10000} = 100$$

Угол в равнобедренном треугольнике

В треугольнике $ABC$ проведена медиана $BM$. Найдите градусную меру угла $A$, если $AB = BC$ и $\angle ABC = 80^\circ$.

1. 1
   Так как $AB = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный, а его углы при основании $AC$ равны: $\angle A = \angle C$.$$\angle A = \angle C$$
2. 2
   Сумма углов треугольника равна $180^\circ$.$$\angle A + \angle C = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Медиана равностороннего треугольника

Сторона равностороннего треугольника равна $16\sqrt{3}$. Найдите медиану этого треугольника.

1. 1
   Медиана равностороннего треугольника выражается формулой$$m = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$$
2. 2
   Подставим длину стороны треугольника:$$m = \dfrac{16\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{2} = \dfrac{16\cdot 3}{2} = 24$$

Гипотенуза прямоугольного треугольника

Катеты прямоугольного треугольника равны 18 и 24. Найдите гипотенузу этого треугольника.

1. 1
   По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.$$c^2 = 18^2 + 24^2$$
2. 2
   Вычислим длину гипотенузы:$$c = \sqrt{324 + 576} = \sqrt{900} = 30$$

Средняя желі треугольника

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображён треугольник $ABC$. Найдите длину его средней линии, параллельной стороне $AC$.

1. 1
   По клеткам определяем длину стороны $AC$: она равна $8$ единицам.$$AC = 8$$
2. 2
   Средняя желі треугольника, параллельная стороне $AC$, равна половине этой стороны.$$l = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{8}{2} = 4$$

Угол треугольника с медианой

В треугольнике проведена медиана. Найдите градусную меру указанного угла, если даны две величины из условия.

1. 1
   Медиана делит противоположную сторону на два равных отрезка. Используем это свойство вместе с равенством суммы углов треугольника $180^\circ$.$$a+b+c=180^\circ$$
2. 2
   Подставляя данные условия и решая получившееся угловое соотношение, находим искомый угол.$$\alpha=39^\circ$$

Угол равнобедренного треугольника

В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC$, $\angle ABC = 146^\circ$. Найдите угол $BCA$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Поскольку $AB = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный, а его углы при основании равны.$$\angle BAC = \angle BCA$$
2. 2
   Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, поэтому сумма двух углов при основании равна:$$\angle BAC + \angle BCA = 180^\circ - 146^\circ = 34^\circ$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Нахождение катета треугольника

В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны 7 и 25 соответственно. Найдите другой катет этого треугольника.

1. 1
   Обозначим искомый катет через $x$. По теореме Пифагора:$$x^2 + 7^2 = 25^2$$
2. 2
   Выразим квадрат искомого катета:$$x^2 = 25^2 - 7^2 = 625 - 49 = 576$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Медиана равностороннего треугольника

Сторона равностороннего треугольника равна $14\sqrt{3}$. Найдите медиану этого треугольника.

1. 1
   В равностороннем треугольнике медиана является также высотой. Используем формулу медианы через сторону:$$m=\frac{a\sqrt{3}}{2}$$
2. 2
   Подставим длину стороны и упростим выражение:$$m=\frac{14\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{2}=\frac{14\cdot3}{2}=21$$