Решение: Длина отрезка CD
В треугольнике $ABC$ известны длины сторон $AB = 12$, $AC = 72$, точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$. Прямая $BD$, перпендикулярная прямой $AO$, пересекает сторону $AC$ в точке $D$. Найдите $CD$.
Решение по шагам
8 шаговРазместим начало координат в точке $A$, а положительное направление оси $Ox$ выберем вдоль луча $AO$. Пусть $AO = R$. Тогда уравнение окружности, проходящей через $A$ и имеющей центр $O(R,0)$, имеет вид:
$$x^2+y^2=2Rx$$Пусть координаты точки $B$ равны $(x_B,y_B)$. Так как $B$ лежит на окружности, а $AB=12$, получаем:
$$x_B^2+y_B^2=AB^2=144=2Rx_B$$Следовательно, абсцисса точки $B$ равна:
$$x_B=\frac{72}{R}$$Прямая $BD$ перпендикулярна $AO$, поэтому она вертикальна в выбранной системе координат. Значит, точки $B$ и $D$ имеют одинаковые абсциссы: $x_D=x_B=\dfrac{72}{R}$.
Точка $D$ лежит на отрезке $AC$. Обозначим $AD=t$. Тогда координаты точки $D$ пропорциональны координатам точки $C$, поэтому $x_D=t\cos\angle OAC$. Для точки $C$ из уравнения окружности имеем:
$$AC^2=2R\cdot AC\cos\angle OAC$$Так как $AC=72$, получаем $\cos\angle OAC=\dfrac{36}{R}$. Поэтому:
$$x_D=t\cdot\frac{36}{R}$$Приравнивая найденное значение абсциссы точки $D$ к абсциссе точки $B$, получаем:
$$t\cdot\frac{36}{R}=\frac{72}{R},\qquad t=AD=2$$Тогда длина искомого отрезка равна:
$$CD=AC-AD=72-2=70$$ОТВЕТ: 70
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Забывают, что из условия $BD \perp AO$ следует равенство абсцисс точек $B$ и $D$ в выбранной системе координат.
Неверно используют уравнение окружности и получают $x_B=\dfrac{144}{R}$ вместо $x_B=\dfrac{72}{R}$.
Находят $AD=2$, но записывают его как искомую длину, не вычисляя $CD=AC-AD$.