Длина отрезка на стороне треугольника
В треугольнике $ABC$ известны длины сторон $AB = 15$, $AC = 25$, точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$. Прямая $BD$, перпендикулярная прямой $AO$, пересекает сторону $AC$ в точке $D$. Найдите $CD$.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| В треугольнике известны длины сторон , , точка центр окружности, описанной около треугольника . Прямая , перпендикулярная прямой , пересекает сторону в точке . | ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Рассмотрите проекции точек $B$ и $C$ на прямую $AO$. Как связаны эти проекции с длинами $AB$ и $AC$?
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
Так как $O$ — центр описанной окружности, для любой точки $X$ треугольника выполняется $AX^2 = 2R \cdot h_X$, где $R = AO$, а $h_X$ — проекция отрезка $AX$ на направление $AO$.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
Для точек $B$ и $C$ отношения соответствующих проекций равны $\dfrac{AB^2}{AC^2} = \dfrac{225}{625} = \dfrac{9}{25}$. Поэтому $\dfrac{AD}{AC} = \dfrac{9}{25}$, откуда $AD = 9$ и $CD = 25 - 9$.