Решение: Длина отрезка на стороне треугольника
В треугольнике $ABC$ известны длины сторон $AB = 15$, $AC = 25$, точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$. Прямая $BD$, перпендикулярная прямой $AO$, пересекает сторону $AC$ в точке $D$. Найдите $CD$.
Решение по шагам
6 шаговОбозначим радиус описанной окружности через $R$, то есть $AO = R$. Введём направление вдоль прямой $AO$ и рассмотрим проекции отрезков $AB$ и $AC$ на эту прямую.
Пусть проекция точки $B$ на направление $AO$ равна $x_B$. Так как $B$ лежит на окружности с центром $O$, из равенства расстояний $AO = BO = R$ получаем:
$$AB^2 = 2R x_B$$Аналогично для точки $C$, если её проекция равна $x_C$:
$$AC^2 = 2R x_C$$Следовательно, отношение проекций равно отношению квадратов соответствующих сторон:
$$\frac{x_B}{x_C} = \frac{AB^2}{AC^2} = \frac{15^2}{25^2} = \frac{225}{625} = \frac{9}{25}$$Поскольку $BD \perp AO$, прямая $BD$ проходит через точку с проекцией $x_B$. Поэтому при пересечении с прямой $AC$ точка $D$ делит отрезок $AC$ в отношении:
$$\frac{AD}{AC} = \frac{x_B}{x_C} = \frac{9}{25}$$Находим длину отрезка $AD$ и затем $CD$:
$$AD = 25 \cdot \frac{9}{25} = 9,\qquad CD = AC - AD = 25 - 9 = 16$$CD = 16
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Используют отношение сторон $AB:AC = 15:25$ вместо отношения их квадратов.
Забывают, что $CD = AC - AD$.
Не обосновывают, почему перпендикулярность $BD$ и $AO$ позволяет использовать проекции на прямую $AO$.