В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 220, а площадь равна 2420, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.
- 1
Обозначим основания трапеции через $a$ и $b$, где $a>b$, боковую сторону — через $c$, а высоту — через $h$. Так как в трапецию можно вписать окружность, сумма оснований равна сумме боковых сторон:$$a+b=2c$$
- 2
Из условия о периметре получаем $2c+a+b=220$. С учётом равенства $a+b=2c$ имеем:$$4c=220,\quad c=55,\quad a+b=110$$
Ещё 5 қадам — толық шешімде
Углы при одном из оснований трапеции равны $86^\circ$ и $4^\circ$, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны $4$ и $1$. Найдите основания трапеции.
- 1
Обозначим основания трапеции через $a$ и $b$, причём $a>b$, а её высоту — через $h$. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, является средней линией трапеции, поэтому его длина равна полусумме оснований.$$m=\frac{a+b}{2}$$
- 2
Средняя линия имеет длину $4$, так как длина $1$ не может быть полусуммой оснований при данных углах и положительной высоте. Следовательно, $a+b=8$.
Ещё 4 қадам — толық шешімде
423ФИПИ BF2C2E№ 23Күрделі Биссектриса угла $A$ параллелограмма $ABCD$ пересекает сторону $BC$ в точке $K$. Найдите периметр параллелограмма, если $BK = 12$, $CK = 16$.
- 1
Вычислим длину стороны $BC$.$$BC = BK + CK = 12 + 16 = 28$$
- 2
В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому $AD = BC = 28$.
Ещё 3 қадам — толық шешімде
Углы при одном из оснований трапеции равны $7^\circ$ и $83^\circ$, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны $14$ и $11$. Найдите основания трапеции.
- 1
Обозначим основания трапеции через $a$ и $b$, причём $a>b$, а высоту — через $h$. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, равен полусумме оснований. Поэтому$$\frac{a+b}{2}=14,\qquad a+b=28$$
- 2
Пусть основания расположены горизонтально. Из прямоугольных треугольников у боковых сторон горизонтальные проекции боковых сторон равны $h\cot 7^\circ$ и $h\tan 7^\circ$. Поэтому$$a-b=h(\cot 7^\circ+\tan 7^\circ)$$
Ещё 4 қадам — толық шешімде
425ФИПИ C5C26D№ 23Күрделі Высота $AH$ ромба $ABCD$ делит сторону $CD$ на отрезки $DH = 12$ и $CH = 1$. Найдите высоту ромба.
- 1
Так как $H$ лежит на стороне $CD$, длина стороны ромба равна сумме отрезков $DH$ и $CH$:$$CD = DH + CH = 12 + 1 = 13$$
- 2
Все стороны ромба равны, поэтому $AD = 13$. Высота $AH$ перпендикулярна стороне $CD$, значит треугольник $ADH$ прямоугольный.
Ещё 2 қадам — толық шешімде
426ФИПИ CC279D№ 23Күрделі Найдите боковую сторону $AB$ трапеции $ABCD$, если углы $ABC$ и $BCD$ равны соответственно $60^\circ$ и $150^\circ$, а $CD = 33$.
- 1
Опустим из вершин $A$ и $D$ перпендикуляры на основание $BC$. Получившиеся отрезки являются высотами трапеции, поэтому высота равна вертикальной составляющей стороны $CD$.$$h = CD \cdot \sin 150^\circ$$
- 2
Вычислим высоту трапеции.$$h = 33 \cdot \sin 150^\circ = 33 \cdot \frac{1}{2} = \frac{33}{2}$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
427ФИПИ CF5F48№ 23Күрделі Биссектриса угла $A$ параллелограмма $ABCD$ пересекает сторону $BC$ в точке $K$. Найдите периметр параллелограмма, если $BK = 7$, $CK = 12$.
- 1
В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому $AD = BC$. Найдём длину стороны $BC$:$$BC = BK + CK = 7 + 12 = 19$$
- 2
Поскольку $AK$ — биссектриса угла $DAB$, её направление образует равные углы со сторонами $AB$ и $AD$. При пересечении с параллельной стороне $BC$ это даёт соотношение:$$\frac{BK}{CK} = \frac{AB}{AD}$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
428ФИПИ D01FBF№ 23Күрделі Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 13, а одна из диагоналей ромба равна 52. Найдите углы ромба.
- 1
Расстояние от точки пересечения диагоналей до стороны ромба равно половине высоты ромба, поэтому высота равна $2 \cdot 13 = 26$.
- 2
Пусть половина второй диагонали равна $x$. Одна из диагоналей равна $52$, поэтому её половина равна $26$. Диагонали ромба перпендикулярны, следовательно, сторона ромба равна $\sqrt{26^2+x^2}$.
Ещё 5 қадам — толық шешімде
429ФИПИ D4D0BC№ 23Күрделі Найдите боковую сторону $AB$ трапеции $ABCD$, если углы $ABC$ и $BCD$ равны соответственно $45^\circ$ и $120^\circ$, а $CD = 34$.
- 1
Пусть $h$ — высота трапеции. В прямоугольном треугольнике, образованном стороной $CD$, высотой и основанием, угол между стороной $CD$ и основанием имеет величину $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.$$h = CD \cdot \sin 60^\circ$$
- 2
Найдём высоту трапеции:$$h = 34 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 17\sqrt{3}$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 15, а одна из диагоналей ромба равна 60. Найдите углы ромба.
- 1
Обозначим вторую диагональ ромба через $d$. Диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Поэтому сторона ромба равна$$a=\sqrt{30^2+\left(\frac d2\right)^2}=\frac12\sqrt{3600+d^2}$$
- 2
Площадь ромба равна половине произведения диагоналей, а расстояние от центра ромба до стороны является радиусом вписанной окружности: $r=\dfrac{S}{p}$, где $p=2a$ — полупериметр.$$15=\frac{30d}{\sqrt{3600+d^2}}$$
Ещё 3 қадам — толық шешімде
431ФИПИ DCE2BA№ 23Күрделі Прямая, параллельная основаниям трапеции $ABCD$, пересекает её боковые стороны $AB$ и $CD$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Найдите длину отрезка $EF$, если $AD = 25$, $BC = 15$, $CF : DF = 3 : 2$.
- 1
Из отношения $CF : DF = 3 : 2$ следует, что вся боковая сторона $CD$ состоит из $5$ равных частей, а $CF$ — из $3$ таких частей. Поэтому $\dfrac{CF}{CD} = \dfrac{3}{5}$.$$\frac{CF}{CD}=\frac{3}{3+2}=\frac{3}{5}$$
- 2
При перемещении параллельного основания от $BC$ к $AD$ длина сечения увеличивается от $15$ до $25$. На доле $\dfrac{3}{5}$ этого пути увеличение длины равно:$$\frac{3}{5}(AD-BC)=\frac{3}{5}(25-15)=6$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 12, а одна из диагоналей ромба равна 48. Найдите углы ромба.
- 1
Обозначим точку пересечения диагоналей ромба через $O$. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Половина известной диагонали равна $24$, а половину второй диагонали обозначим через $x$.$$d_1=48,\quad \frac{d_1}{2}=24,\quad \frac{d_2}{2}=x$$
- 2
Сторона ромба является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами $24$ и $x$.$$a=\sqrt{24^2+x^2}$$
Ещё 5 қадам — толық шешімде
Углы при одном из оснований трапеции равны $18^\circ$ и $72^\circ$, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны $15$ и $4$. Найдите основания трапеции.
- 1
Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, является её средней линией. Поэтому его длина равна полусумме оснований.$$\frac{a+b}{2}=15$$
- 2
Следовательно, сумма оснований равна:$$a+b=30$$
Ещё 6 қадам — толық шешімде
434ФИПИ EE99B1№ 23Күрделі Найдите боковую сторону $AB$ трапеции $ABCD$, если углы $ABC$ и $BCD$ равны соответственно $45^\circ$ и $120^\circ$, а $CD = 40$.
- 1
Так как $AD\parallel BC$, расстояние между основаниями является общей высотой трапеции. Обозначим её через $h$.
- 2
В прямоугольном треугольнике, образованном стороной $AB$, высотой и основанием, имеем $h=AB\sin 45^\circ$.
Ещё 3 қадам — толық шешімде
Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 19, а одна из диагоналей ромба равна 76. Найдите углы ромба.
- 1
Обозначим точку пересечения диагоналей ромба через $O$. Пусть одна диагональ равна $76$, поэтому её половина равна $38$. Половину второй диагонали обозначим через $x$.
- 2
Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Поэтому сторона ромба равна $a=\sqrt{38^2+x^2}$.
Ещё 5 қадам — толық шешімде
436ФИПИ EF764E№ 23Күрделі Биссектриса угла $A$ параллелограмма $ABCD$ пересекает сторону $BC$ в точке $K$. Найдите периметр параллелограмма, если $BK = 9$, $CK = 15$.
- 1
Найдём длину стороны $BC$:$$BC = BK + CK = 9 + 15 = 24$$
- 2
Так как $AK$ — биссектриса угла $DAB$, то $\angle BAK = \angle KAD$. Поскольку $AD \parallel BC$, получаем $\angle AKB = \angle KAD$. Следовательно, $\angle BAK = \angle AKB$, поэтому треугольник $ABK$ равнобедренный.$$AB = BK = 9$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
437ФИПИ EFC57B№ 23Күрделі Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 14, а одна из диагоналей ромба равна 56. Найдите углы ромба.
- 1
Обозначим точку пересечения диагоналей ромба через $O$. Пусть одна диагональ равна $56$, тогда половина этой диагонали равна $28$. Вторую диагональ обозначим через $2x$, поэтому её половина равна $x$.
- 2
Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Поэтому сторона ромба является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами $28$ и $x$:$$a=\sqrt{28^2+x^2}=\sqrt{784+x^2}$$
Ещё 8 қадам — толық шешімде
438ФИПИ F13255№ 23Күрделі Биссектриса угла $A$ параллелограмма $ABCD$ пересекает сторону $BC$ в точке $K$. Найдите периметр параллелограмма, если $BK = 3$, $CK = 19$.
- 1
Так как точка $K$ лежит на стороне $BC$, длина стороны $BC$ равна сумме отрезков $BK$ и $CK$.$$BC = BK + CK = 3 + 19 = 22$$
- 2
Биссектриса угла $A$ параллелограмма пересекает сторону $BC$. Из равенства углов, образованных биссектрисой и параллельными сторонами, следует равенство треугольника с равными углами, поэтому $AB = BK$.$$AB = BK = 3$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
439ФИПИ F3229F№ 23Күрделі Найдите боковую сторону $AB$ трапеции $ABCD$, если углы $ABC$ и $BCD$ равны соответственно $60^\circ$ и $135^\circ$, а $CD = 24$.
- 1
Пусть $h$ — высота трапеции. Так как основания трапеции параллельны, высота одинакова для обеих боковых сторон.$$h = AB\sin 60^\circ = CD\sin 135^\circ$$
- 2
Подставим известное значение боковой стороны $CD$ и значения синусов.$$AB\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=24\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
440ФИПИ F69509№ 23Күрделі Высота $AH$ ромба $ABCD$ делит сторону $CD$ на отрезки $DH = 12$ и $CH = 3$. Найдите высоту ромба.
- 1
Так как $H$ лежит на стороне $CD$, длина стороны ромба равна сумме отрезков $DH$ и $CH$:$$CD = DH + CH = 12 + 3 = 15$$
- 2
Все стороны ромба равны, поэтому $AD = CD = 15$.
Ещё 2 қадам — толық шешімде