141ФИПИ 27B06C№ 20Күрделі Решите уравнение $(x+4)^4-6(x+4)^2-7=0$.
- 1
Выполним замену переменной: $t=(x+4)^2$. Тогда $t\geqslant 0$, а исходное уравнение принимает вид$$t^2-6t-7=0$$
- 2
Разложим квадратный трёхчлен на множители и найдём корни:$$t^2-6t-7=(t-7)(t+1)=0,\quad t_1=7,\quad t_2=-1$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
142ФИПИ 27B07D№ 20Күрделі Решите уравнение $x^2 - 3x + \sqrt{6 - x} = \sqrt{6 - x} + 28$.
- 1
Найдём область допустимых значений: подкоренное выражение должно быть неотрицательным.$$6 - x \geq 0, \quad x \leq 6$$
- 2
Вычтем $\sqrt{6 - x}$ из обеих частей уравнения.$$x^2 - 3x = 28$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
143ФИПИ 290154№ 20Күрделі Решите систему уравнений $\begin{cases}3x^2+y=9,\\7x^2-y=1.\end{cases}$
- 1
Сложим уравнения системы. Переменные $y$ уничтожаются:$$3x^2+y+7x^2-y=9+1$$
- 2
Решим получившееся уравнение относительно $x$:$$10x^2=10,\quad x^2=1,\quad x=\pm1$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
144ФИПИ 29978C№ 20Күрделі Решите уравнение $\dfrac{1}{(x-1)^2}+\dfrac{2}{x-1}-3=0$.
- 1
ОДЗ: знаменатель не должен обращаться в ноль, поэтому $x\ne1$.$$x\ne1$$
- 2
Введём замену $t=\dfrac{1}{x-1}$. Тогда $\dfrac{1}{(x-1)^2}=t^2$, и получаем квадратное уравнение.$$t^2+2t-3=0$$
Ещё 4 қадам — толық шешімде
145ФИПИ 2E988B№ 20Күрделі Решите систему уравнений: $\begin{cases}5x^2+y=12,\\9x^2-y=2.\end{cases}$
- 1
Сложим почленно уравнения системы, чтобы исключить переменную $y$.$$5x^2+y+9x^2-y=12+2$$
- 2
Решим получившееся уравнение.$$14x^2=14,\quad x^2=1,\quad x=1\ \text{или}\ x=-1$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
146ФИПИ 344BE0№ 20Күрделі Решите уравнение $(x - 1)(x^2 + 4x + 4) = 4(x + 2)$.
- 1
Представим квадратный трёхчлен в левой части как квадрат двучлена:$$x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2$$
- 2
Перенесём правую часть в левую и вынесем общий множитель $x + 2$:$$(x - 1)(x + 2)^2 - 4(x + 2) = 0$$
Ещё 3 қадам — толық шешімде
147ФИПИ 35233A№ 20Күрделі Решите уравнение $x^3 + 3x^2 - x - 3 = 0$.
- 1
Сгруппируем слагаемые так, чтобы вынести общий множитель $x + 3$:$$x^3 + 3x^2 - x - 3 = x^2(x + 3) - (x + 3)$$
- 2
Вынесем общий множитель и разложим разность квадратов:$$x^2(x + 3) - (x + 3) = (x + 3)(x^2 - 1) = (x + 3)(x - 1)(x + 1)$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
148ФИПИ 35AF32№ 20Күрделі Решите уравнение $\left(x^2 - 1\right)^2 + \left(x^2 - 6x - 7\right)^2 = 0$.
- 1
Каждое слагаемое в левой части является квадратом, поэтому оно неотрицательно. Сумма двух квадратов равна нулю только в том случае, если оба квадрата равны нулю.$$\left\{\begin{aligned}x^2-1&=0,\\x^2-6x-7&=0.\end{aligned}\right.$$
- 2
Решим первое уравнение.$$x^2-1=0 \quad\Longrightarrow\quad x=\pm1$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
149ФИПИ 3CA76F№ 20Күрделі Решите систему уравнений $\begin{cases} 7x^2 - 5x = y, \\ 7x - 5 = y. \end{cases}$
- 1
Приравняем правые части уравнений системы:$$7x^2 - 5x = 7x - 5$$
- 2
Перенесём все слагаемые в левую часть и получим квадратное уравнение:$$7x^2 - 12x + 5 = 0$$
Ещё 4 қадам — толық шешімде
150ФИПИ 3CCDCA№ 20Күрделі Решите уравнение $\left(x^2-16\right)^2+\left(x^2+x-12\right)^2=0$.
- 1
Оба слагаемых в левой части являются квадратами, поэтому их сумма равна нулю только в том случае, если каждое слагаемое равно нулю.$$\left\{\begin{aligned}(x^2-16)^2&=0,\\(x^2+x-12)^2&=0.\end{aligned}\right.$$
- 2
Получаем систему уравнений:$$\left\{\begin{aligned}x^2-16&=0,\\x^2+x-12&=0.\end{aligned}\right.$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
151ФИПИ 3D7F40№ 20Күрделі Решите уравнение $x^3 + 7x^2 = 4x + 28$.
- 1
Перенесём все слагаемые в левую часть уравнения.$$x^3 + 7x^2 - 4x - 28 = 0$$
- 2
Сгруппируем слагаемые и вынесем общий множитель в каждой группе.$$x^2(x+7) - 4(x+7) = 0$$
Ещё 3 қадам — толық шешімде
152ФИПИ 3E1CF4№ 20Күрделі Решите систему уравнений $\begin{cases}2x^2+y=4,\\4x^2-y=2.\end{cases}$
- 1
Сложим уравнения системы, чтобы исключить переменную $y$.$$2x^2+y+4x^2-y=4+2$$
- 2
Получаем уравнение относительно $x$ и находим его корни.$$6x^2=6,\quad x^2=1,\quad x=1\ \text{или}\ x=-1$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
153ФИПИ 417E79№ 20Күрделі Решите систему уравнений \[ \begin{cases} 3x^2-2x=y,\\ 3x-2=y. \end{cases} \]
- 1
Так как обе части системы равны $y$, приравняем их:$$3x^2-2x=3x-2$$
- 2
Перенесём все слагаемые в левую часть и получим квадратное уравнение:$$3x^2-5x+2=0$$
Ещё 3 қадам — толық шешімде
154ФИПИ 424AC9№ 20Күрделі Решите уравнение $x^4=(4x-5)^2$.
- 1
Запишем уравнение как равенство квадратов и воспользуемся свойством: если $a^2=b^2$, то $a=b$ или $a=-b$.$$x^2=4x-5 \quad\text{или}\quad x^2=-(4x-5)$$
- 2
Решим первое уравнение.$$x^2-4x+5=0$$
Ещё 4 қадам — толық шешімде
155ФИПИ 478148№ 20Күрделі Решите уравнение $x^4 = (x - 2)^2$.
- 1
Запишем уравнение как равенство квадратов и рассмотрим два случая.$$(x^2)^2 = (x - 2)^2 \Longrightarrow x^2 = x - 2 \quad \text{или} \quad x^2 = 2 - x$$
- 2
Решим первое квадратное уравнение. Его дискриминант отрицателен, поэтому действительных корней нет.$$x^2 - x + 2 = 0, \quad D = 1 - 8 = -7 < 0$$
Ещё 3 қадам — толық шешімде
156ФИПИ 4AF24D№ 20Күрделі Решите уравнение $x^3 + 4x^2 = 9x + 36$.
- 1
Перенесём все слагаемые в левую часть уравнения.$$x^3 + 4x^2 - 9x - 36 = 0$$
- 2
Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки.$$x^2(x+4)-9(x+4)=0$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
157ФИПИ 4BBE8B№ 20Күрделі Решите систему уравнений $\begin{cases} 2x^2-x=y, \\ 2x-1=y. \end{cases}$
- 1
Приравняем правые части уравнений системы, так как обе они равны $y$.$$2x^2-x=2x-1$$
- 2
Перенесём все слагаемые в левую часть и решим квадратное уравнение.$$2x^2-3x+1=0$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
158ФИПИ 4CA219№ 20Күрделі Решите уравнение $\left(x^2-9\right)^2+\left(x^2-2x-15\right)^2=0$.
- 1
Сумма квадратов равна нулю только в том случае, если каждый квадрат равен нулю.$$x^2-9=0,\quad x^2-2x-15=0$$
- 2
Решим первое уравнение:$$x^2-9=0\Rightarrow x=\pm 3$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
159ФИПИ 4DCE6B№ 20Күрделі Решите уравнение $x^4 = (x - 12)^2$.
- 1
Представим левую часть уравнения как квадрат выражения $x^2$:$$(x^2)^2 = (x - 12)^2$$
- 2
Приравняем выражения, квадраты которых равны, рассматривая два случая:$$x^2 = x - 12 \quad \text{или} \quad x^2 = 12 - x$$
Ещё 4 қадам — толық шешімде
160ФИПИ 4F75FE№ 20Күрделі Решите уравнение $x^3 + 5x^2 - 9x - 45 = 0$.
- 1
Сгруппируем слагаемые в левой части уравнения:$$x^3 + 5x^2 - 9x - 45 = x^2(x+5)-9(x+5)$$
- 2
Вынесем общий множитель $(x+5)$:$$x^2(x+5)-9(x+5)=(x+5)(x^2-9)$$
Ещё 3 қадам — толық шешімде