Решите уравнение x⁴ = (x - 12)².

Решение: Решение биквадратного уравнения

ОГЭ · Математика · Задание 20 · Решение уравнений

ПовышеннаяФИПИ4DCE6BРазвёрнутое решение≈ 5 минутРазбор в 6 шагов

Условие

Решите уравнение $x^4 = (x - 12)^2$.

Дальше ответЕсли ещё решаете — начните с подсказок: они ведут к ответу, но не выдают его.

6 шагов

Представим левую часть уравнения как квадрат выражения $x^2$:

$$(x^2)^2 = (x - 12)^2$$

Приравняем выражения, квадраты которых равны, рассматривая два случая:

$$x^2 = x - 12 \quad \text{или} \quad x^2 = 12 - x$$

Решим первое уравнение. Его дискриминант отрицателен, поэтому действительных корней нет:

$$x^2 - x + 12 = 0,\quad D = 1 - 48 = -47 < 0$$

Решим второе уравнение разложением на множители:

$$x^2 + x - 12 = 0,\quad (x + 4)(x - 3) = 0$$

Получаем корни второго уравнения:

$$x = -4 \quad \text{или} \quad x = 3$$

Проверка показывает, что оба найденных значения удовлетворяют исходному уравнению.

$$(-4)^4 = (-4 - 12)^2 = 256;\quad 3^4 = (3 - 12)^2 = 81$$

Ответ

x = -4; 3

Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.

Преобразуют равенство квадратов только в одно уравнение и теряют один из случаев.

Ошибаются при вычислении дискриминанта уравнения $x^2 - x + 12 = 0$.

Не учитывают, что при равенстве квадратов возможны противоположные значения выражений.

Закрепить приёмВ теме «Решение уравнений» ещё 219 задач — с ответом и таким же разбором.