Четырёхугольник $ABCD$ описан около окружности, $AB = 5$, $BC = 9$, $CD = 16$. Найдите $AD$.
- 1
Для четырёхугольника, описанного около окружности, суммы длин противоположных сторон равны.$$AB + CD = BC + AD$$
- 2
Подставим известные значения и найдём $AD$.$$AD = 5 + 16 - 9 = 12$$
Четырёхугольник $ABCD$ описан около окружности. Известно, что $AB = 8$, $BC = 20$, $CD = 17$. Найдите $AD$.
- 1
У описанного около окружности четырёхугольника суммы длин противоположных сторон равны.$$AB + CD = BC + AD$$
- 2
Подставим известные значения длин сторон.$$8 + 17 = 20 + AD$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Угол $A$ четырёхугольника $ABCD$, вписанного в окружность, равен $48^\circ$. Найдите угол $C$ этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.
- 1
В вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна $180^\circ$. Углы $A$ и $C$ — противоположные.$$A + C = 180^\circ$$
- 2
Подставим значение угла $A$ и найдём угол $C$.$$C = 180^\circ - 48^\circ = 132^\circ$$
Треугольник $ABC$ вписан в окружность с центром в точке $O$. Точки $O$ и $C$ лежат в одной полуплоскости относительно прямой $AB$. Найдите угол $ACB$, если угол $AOB$ равен $59^\circ$.
- 1
Углы $AOB$ и $ACB$ опираются на одну и ту же дугу $AB$, не содержащую точку $C$.
- 2
Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.$$\angle ACB = \dfrac{1}{2}\angle AOB$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Точка $O$ является серединой стороны $CD$ квадрата $ABCD$. Радиус окружности с центром в точке $O$, проходящей через вершину $A$, равен $5$. Найдите площадь квадрата $ABCD$.
- 1
Пусть сторона квадрата равна $a$. Так как $O$ — середина стороны $CD$, расстояние от $O$ до вертикальной стороны $AB$ равно $a$, а горизонтальное расстояние от $O$ до вершины $A$ равно $\dfrac{a}{2}$.
- 2
Радиус $OA$ является гипотенузой прямоугольного треугольника.$$OA^2=a^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABD$ равен $77^\circ$, угол $CAD$ равен $43^\circ$. Найдите угол $ABC$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Углы $ABD$ и $ACD$ — вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду $AD$, поэтому они равны.$$\angle ACD = \angle ABD = 77^\circ$$
- 2
В треугольнике $ACD$ найдём угол $ADC$.$$\angle ADC = 180^\circ - \angle CAD - \angle ACD = 180^\circ - 43^\circ - 77^\circ = 60^\circ$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В треугольнике $ABC$ известно, что $AC = 40$, $BC = 9$, угол $C$ равен $90^\circ$. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.
- 1
Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой.$$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2}$$
- 2
По теореме Пифагора найдём длину гипотенузы.$$AB = \sqrt{40^2 + 9^2} = \sqrt{1600 + 81} = \sqrt{1681} = 41$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Найдите площадь квадрата, описанного около окружности радиуса 40.
- 1
Окружность вписана в квадрат, поэтому сторона квадрата равна диаметру окружности.$$a = 2r$$
- 2
Найдём сторону квадрата:$$a = 2 \cdot 40 = 80$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ описана около окружности. $AB = 9$, $BC = 5$, $CD = 7$. Найдите $AD$.
- 1
В четырёхугольнике, описанном около окружности, суммы длин противоположных сторон равны.$$AB + CD = BC + AD$$
- 2
Подставим известные длины сторон и найдём основание $AD$.$$AD = AB + CD - BC = 9 + 7 - 5 = 11$$
Диагональ ромба равна 30, а другая диагональ равна 20. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.
- 1
Найдём площадь ромба по его диагоналям.$$S=\dfrac{30\cdot20}{2}=300$$
- 2
Сторона ромба равна половине гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами, равными половинам диагоналей.$$a=\sqrt{15^2+10^2}=5\sqrt{13}$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Диагональ ромба равна 8, а площадь ромба равна 24. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.
- 1
Найдём вторую диагональ ромба по формуле площади:$$24 = \dfrac{8d_2}{2},\quad d_2 = 6$$
- 2
Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам, поэтому половины диагоналей и сторона образуют прямоугольный треугольник:$$a = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Центр окружности, описанной около треугольника $ABC$, лежит на стороне $AB$. Радиус окружности равен $13$. Найдите $AC$, если $BC = 24$.
- 1
Так как центр описанной окружности лежит на стороне $AB$, сторона $AB$ является диаметром окружности.$$AB = 2R = 2 \cdot 13 = 26$$
- 2
Угол $ACB$ опирается на диаметр, поэтому он прямой. Применяем теорему Пифагора:$$AC^2 + BC^2 = AB^2$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В окружность с центром в точке $O$ вписан равносторонний треугольник. Расстояние от точки $O$ до сторон треугольника равно $6\sqrt{3}$. Найдите сторону треугольника.
- 1
Расстояние от центра окружности до стороны равностороннего треугольника является радиусом вписанной в треугольник окружности.$$r = \dfrac{a\sqrt{3}}{6}$$
- 2
Выразим сторону треугольника через радиус и подставим значение расстояния.$$a = \dfrac{6r}{\sqrt{3}} = \dfrac{6 \cdot 6\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 12$$
Центр окружности, описанной около треугольника $ABC$, лежит на стороне $AB$. Найдите угол $ABC$, если угол $BAC$ равен $33^\circ$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Центр описанной окружности лежит на стороне $AB$, следовательно, $AB$ является диаметром окружности.$$AB \text{ — диаметр}$$
- 2
Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой.$$\angle ACB = 90^\circ$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
На окружности по разные стороны от диаметра $AB$ взяты точки $M$ и $N$. Известно, что $\angle NBA = 32^\circ$. Найдите угол $NMB$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Вписанный угол $\angle NBA$ опирается на дугу $NA$, поэтому её градусная мера вдвое больше угла.$$\overset{\frown}{NA}=2\angle NBA=2\cdot32^\circ=64^\circ$$
- 2
Так как $AB$ — диаметр, дуга $ANB$ является полуокружностью.$$\overset{\frown}{NB}=180^\circ-64^\circ=116^\circ$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Треугольник $ABC$ вписан в окружность с центром в точке $O$. Точки $O$ и $C$ лежат в одной полуплоскости относительно прямой $AB$. Найдите угол $ACB$, если угол $AOB$ равен $153^\circ$. Ответ дайте…
- 1
Так как точки $O$ и $C$ лежат в одной полуплоскости относительно прямой $AB$, угол $ACB$ опирается на дугу $AB$, соответствующую центральному углу $AOB$.
- 2
Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.$$\angle ACB = \frac{1}{2}\angle AOB$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Синус угла между стороной и диагональю прямоугольника равен $0{,}96$. Диаметр описанной около него окружности равен $25$. Найдите площадь прямоугольника.
- 1
Диагональ прямоугольника является диаметром описанной окружности, поэтому длина диагонали равна $25$.$$d = 25$$
- 2
Сторона, лежащая напротив данного угла, равна произведению диагонали на синус угла.$$b = d\sin\alpha = 25 \cdot 0{,}96 = 24$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен $4\sqrt{3}$. Найдите длину стороны этого треугольника.
- 1
Для равностороннего треугольника радиус описанной окружности выражается формулой:$$R = \dfrac{a}{\sqrt{3}}$$
- 2
Выразим длину стороны через радиус:$$a = R\sqrt{3}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Точка $O$ является серединой стороны $CD$ квадрата $ABCD$. Радиус окружности с центром в точке $O$, проходящей через вершину $A$, равен $\dfrac{\sqrt{5}}{2}$. Найдите площадь квадрата $ABCD$.
- 1
Пусть сторона квадрата равна $a$. Так как $O$ — середина стороны $CD$, то $OD = \dfrac{a}{2}$, а $AD = a$.
- 2
В прямоугольном треугольнике $AOD$ применим теорему Пифагора.$$OA^2 = AD^2 + OD^2 = a^2 + \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 = \dfrac{5a^2}{4}$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Четырёхугольник $ABCD$ описан около окружности, $AB = 14$, $BC = 15$, $CD = 23$. Найдите $AD$.
- 1
У описанного около окружности четырёхугольника суммы длин противоположных сторон равны.$$AB + CD = BC + AD$$
- 2
Подставим известные длины сторон и найдём $AD$.$$14 + 23 = 15 + AD$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде