Угол $A$ трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, вписанной в окружность, равен $31^\circ$. Найдите угол $B$ этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
- 1
Основания трапеции параллельны: $AD \parallel BC$. Углы $A$ и $B$ — односторонние углы при секущей $AB$, поэтому их сумма равна $180^\circ$.$$\angle A + \angle B = 180^\circ$$
- 2
Подставим значение угла $A$ и найдём угол $B$.$$\angle B = 180^\circ - 31^\circ = 149^\circ$$
В окружности с центром в точке $O$ отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры. Угол $AOD$ равен $88^\circ$. Найдите угол $ACB$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Так как $BD$ — диаметр, лучи $OB$ и $OD$ противоположны. Поэтому углы $AOB$ и $AOD$ являются смежными.$$\angle AOB + \angle AOD = 180^\circ$$
- 2
Вычислим центральный угол $AOB$.$$\angle AOB = 180^\circ - 88^\circ = 92^\circ$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Точка $O$ является серединой стороны $CD$ квадрата $ABCD$. Радиус окружности с центром в точке $O$, проходящей через вершину $A$, равен $1{,}5$. Найдите площадь квадрата $ABCD$.
- 1
Пусть сторона квадрата равна $a$. Так как $O$ — середина стороны $CD$, то $OD = \dfrac{a}{2}$. Высота квадрата $AD$ равна $a$.$$OD = \dfrac{a}{2},\quad AD = a$$
- 2
В прямоугольном треугольнике $AOD$ гипотенуза $OA$ равна радиусу окружности.$$OA^2 = AD^2 + OD^2$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $134^\circ$, угол $CAD$ равен $81^\circ$. Найдите угол $ABD$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Противоположные углы вписанного четырёхугольника в сумме дают $180^\circ$.$$\angle ADC=180^\circ-\angle ABC=180^\circ-134^\circ=46^\circ$$
- 2
Рассмотрим треугольник $ACD$ и найдём его третий угол.$$\angle ACD=180^\circ-\angle CAD-\angle ADC=180^\circ-81^\circ-46^\circ=53^\circ$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Диагональ ромба равна 24, а его сторона равна 15. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.
- 1
Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам. Половина известной диагонали равна $24:2=12$.$$d_1/2=12$$
- 2
По теореме Пифагора найдём половину второй диагонали:$$d_2/2=\sqrt{15^2-12^2}=\sqrt{225-144}=9$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
В окружность с центром в точке $O$ вписан равносторонний треугольник. Расстояние от точки $O$ до сторон треугольника равно $\sqrt{3}$. Найдите сторону треугольника.
- 1
В равностороннем треугольнике расстояние от центра до стороны равно радиусу вписанной окружности, а радиус описанной окружности в два раза больше.$$R = 2r = 2\sqrt{3}$$
- 2
Для равностороннего треугольника радиус описанной окружности выражается через сторону формулой:$$R = \dfrac{a}{\sqrt{3}}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Радиус вписанной в квадрат окружности равен $14\sqrt{2}$. Найдите диагональ этого квадрата.
- 1
Диаметр окружности, вписанной в квадрат, равен стороне квадрата.$$a=2r$$
- 2
Найдём сторону квадрата по данному радиусу.$$a=2\cdot14\sqrt{2}=28\sqrt{2}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Центр окружности, описанной около треугольника $ABC$, лежит на стороне $AB$. Радиус окружности равен $17$. Найдите $AC$, если $BC = 30$.
- 1
Так как центр окружности лежит на стороне $AB$, эта сторона является диаметром окружности.$$AB = 2R = 2 \cdot 17 = 34$$
- 2
Угол $ACB$ опирается на диаметр $AB$, поэтому он прямой. Треугольник $ABC$ прямоугольный.$$\angle ACB = 90^\circ$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Сторона равностороннего треугольника равна $10\sqrt{3}$. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
- 1
Для равностороннего треугольника радиус описанной окружности равен стороне, делённой на $\sqrt{3}$.$$R = \dfrac{a}{\sqrt{3}}$$
- 2
Подставим значение стороны треугольника.$$R = \dfrac{10\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 10$$
Радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, равен 10. Найдите высоту этой трапеции.
- 1
Вписанная окружность касается обоих оснований трапеции. Поэтому расстояние между основаниями, то есть высота трапеции, равно диаметру окружности.$$h = d$$
- 2
Диаметр окружности в два раза больше радиуса:$$h = d = 2r = 2 \cdot 10 = 20$$
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $112^\circ$, угол $CAD$ равен $70^\circ$. Найдите угол $ABD$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Вписанный четырёхугольник имеет сумму противоположных углов $180^\circ$.$$\angle ADC=180^\circ-\angle ABC=180^\circ-112^\circ=68^\circ$$
- 2
Рассмотрим треугольник $ACD$ и найдём его третий угол.$$\angle ACD=180^\circ-\angle CAD-\angle ADC=180^\circ-70^\circ-68^\circ=42^\circ$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $60^\circ$, $AB = 10\sqrt{3}$. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
- 1
Сторона $AB$ лежит напротив угла $C$. По теореме синусов для описанной окружности:$$AB = 2R\sin C$$
- 2
Подставим известные значения:$$10\sqrt{3} = 2R\sin 60^\circ = 2R\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры окружности с центром в точке $O$. Угол $ACB$ равен $78^\circ$. Найдите угол $AOD$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Углы $ACB$ и $AOB$ опираются на одну и ту же дугу $AB$. Центральный угол в два раза больше вписанного.$$\angle AOB = 2\angle ACB = 2 \cdot 78^\circ = 156^\circ$$
- 2
Так как $BD$ — диаметр, лучи $OB$ и $OD$ являются противоположными. Поэтому углы $AOB$ и $AOD$ в сумме дают $180^\circ$.$$\angle AOD = 180^\circ - 156^\circ = 24^\circ$$
Трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ описана около окружности, $AB = 11$, $BC = 6$, $CD = 9$. Найдите $AD$.
- 1
Для четырёхугольника, описанного около окружности, суммы длин противоположных сторон равны.$$AB + CD = BC + AD$$
- 2
Подставим известные значения и найдём основание $AD$.$$11 + 9 = 6 + AD$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Сторона квадрата равна $4\sqrt{2}$. Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.
- 1
Найдём диагональ квадрата по формуле $d=a\sqrt{2}$:$$d=4\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=8$$
- 2
Диаметр описанной окружности равен диагонали квадрата, поэтому радиус в два раза меньше:$$R=\frac{d}{2}=\frac{8}{2}=4$$
Треугольник $ABC$ вписан в окружность с центром в точке $O$. Точки $O$ и $C$ лежат в одной полуплоскости относительно прямой $AB$. Найдите угол $ACB$, если угол $AOB$ равен $115^\circ$. Ответ дайте…
- 1
Углы $AOB$ и $ACB$ опираются на одну и ту же дугу $AB$. Условие о расположении точек $O$ и $C$ показывает, что угол $ACB$ опирается на дугу, соответствующую центральному углу $AOB$.
- 2
Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.$$\angle ACB = \dfrac{1}{2}\angle AOB$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Радиус окружности, описанной около квадрата, равен $34\sqrt{2}$. Найдите длину стороны этого квадрата.
- 1
Диагональ квадрата является диаметром описанной окружности.$$d = 2R$$
- 2
Диагональ квадрата выражается через его сторону:$$d = a\sqrt{2}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Сторона квадрата равна $38\sqrt{2}$. Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.
- 1
Диагональ квадрата является диаметром описанной окружности.$$d=a\sqrt{2}$$
- 2
Подставим длину стороны квадрата:$$d=38\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=76$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ описана около окружности, $AB = 12$, $BC = 4$, $CD = 8$. Найдите $AD$.
- 1
В описанном около окружности четырёхугольнике суммы длин противоположных сторон равны.$$AB + CD = BC + AD$$
- 2
Подставим известные длины сторон и найдём основание $AD$.$$12 + 8 = 4 + AD$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
На окружности по разные стороны от диаметра $AB$ взяты точки $M$ и $N$. Известно, что $\angle NBA = 36^\circ$. Найдите угол $NMB$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Так как $AB$ — диаметр окружности, угол $ANB$ прямой по теореме Фалеса.$$\angle ANB = 90^\circ$$
- 2
В треугольнике $ANB$ найдём угол $NAB$.$$\angle NAB = 180^\circ - 90^\circ - 36^\circ = 54^\circ$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде