Решения заданий ФИПИ ОГЭ по математике: «Окружность и вписанные фигуры» — с ответами

Высота описанной трапеции

Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен 32. Найдите высоту этой трапеции.

1. 1
   Основания трапеции — параллельные прямые, к которым касается вписанная окружность.
2. 2
   Расстояние между двумя параллельными касательными к окружности равно её диаметру, поэтому высота трапеции равна диаметру окружности.$$h = 2r$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол вписанный в окружность

На окружности по разные стороны от диаметра $AB$ взяты точки $M$ и $N$. Известно, что $\angle NBA = 41^\circ$. Найдите угол $NMB$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Вписанный угол $\angle NBA$ опирается на дугу $NA$, поэтому её величина в два раза больше угла.$$\widehat{NA}=2\angle NBA=2\cdot41^\circ=82^\circ$$
2. 2
   Так как $AB$ — диаметр, дуга $NAB$ является полуокружностью.$$\widehat{NAB}=180^\circ$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Угол вписанного четырёхугольника

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABD$ равен $16^\circ$, угол $CAD$ равен $32^\circ$. Найдите угол $ABC$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Углы $DBC$ и $CAD$ — вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду $DC$, поэтому они равны.$$\angle DBC = \angle CAD = 32^\circ$$
2. 2
   Угол $ABC$ состоит из углов $ABD$ и $DBC$.$$\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC = 16^\circ + 32^\circ = 48^\circ$$

Диагональ квадрата по радиусу

Радиус вписанной в квадрат окружности равен $8\sqrt{2}$. Найдите диагональ этого квадрата.

1. 1
   Диаметр окружности, вписанной в квадрат, равен стороне квадрата:$$a = 2r = 2\cdot 8\sqrt{2} = 16\sqrt{2}$$
2. 2
   Диагональ квадрата равна произведению его стороны на $\sqrt{2}$:$$d = a\sqrt{2} = 16\sqrt{2}\cdot\sqrt{2} = 32$$

Основание описанной трапеции

Трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ описана около окружности, $AB = 7$, $BC = 5$, $CD = 17$. Найдите $AD$.

1. 1
   Так как трапеция описана около окружности, суммы длин её противоположных сторон равны.$$AB + CD = BC + AD$$
2. 2
   Подставим известные значения и найдём основание $AD$.$$7 + 17 = 5 + AD$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь квадрата по радиусу

Точка $O$ является серединой стороны $CD$ квадрата $ABCD$. Радиус окружности с центром в точке $O$, проходящей через вершину $A$, равен $0{,}5$. Найдите площадь квадрата $ABCD$.

1. 1
   Пусть сторона квадрата равна $a$. Так как точка $O$ — середина стороны $CD$, то $OD = \dfrac{a}{2}$, а $AD = a$.
2. 2
   Треугольник $AOD$ прямоугольный, поэтому по теореме Пифагора:$$OA^2 = OD^2 + AD^2$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Угол, вписанный в окружность

В окружности с центром в точке $O$ отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры. Угол $AOD$ равен $148^\circ$. Найдите угол $ACB$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Так как $BD$ — диаметр, лучи $OB$ и $OD$ противоположны. Поэтому углы $AOB$ и $AOD$ в сумме дают $180^\circ$.$$\angle AOB = 180^\circ - 148^\circ = 32^\circ$$
2. 2
   Угол $ACB$ — вписанный, а угол $AOB$ — центральный; они опираются на одну дугу $AB$. Вписанный угол вдвое меньше центрального.$$\angle ACB = \dfrac{1}{2}\angle AOB = \dfrac{32^\circ}{2} = 16^\circ$$

Радиус описанной окружности

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $60^\circ$, $AB = 12\sqrt{3}$. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

1. 1
   Сторона $AB$ лежит напротив угла $C$. По теореме синусов для описанной окружности:$$AB = 2R\sin C$$
2. 2
   Подставим известные значения:$$12\sqrt{3} = 2R\sin 60^\circ = 2R\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол вписанной трапеции

Угол $A$ трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, вписанной в окружность, равен $36^\circ$. Найдите угол $C$ этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Трапеция $ABCD$ вписана в окружность, поэтому является вписанным четырёхугольником. Сумма её противоположных углов равна $180^\circ$.$$\angle A + \angle C = 180^\circ$$
2. 2
   Подставим значение угла $A$ и найдём угол $C$.$$\angle C = 180^\circ - 36^\circ = 144^\circ$$

Угол треугольника по диаметру

Центр окружности, описанной около треугольника $ABC$, лежит на стороне $AB$. Найдите угол $ABC$, если угол $BAC$ равен $75^\circ$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Так как центр описанной окружности лежит на стороне $AB$, отрезок $AB$ является диаметром окружности.$$AB — диаметр$$
2. 2
   По теореме Фалеса вписанный угол, опирающийся на диаметр, является прямым:$$\angle ACB = 90^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Радиус вписанной окружности

Сторона квадрата равна 24. Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.

1. 1
   Диаметр окружности, вписанной в квадрат, равен стороне квадрата.$$d = 24$$
2. 2
   Радиус окружности равен половине диаметра.$$r = \dfrac{d}{2} = \dfrac{24}{2} = 12$$

Площадь треугольника по радиусу

Периметр треугольника равен 120, одна из сторон равна 40, а радиус вписанной в него окружности равен 7. Найдите площадь этого треугольника.

1. 1
   Найдём полупериметр треугольника:$$p = \dfrac{120}{2} = 60$$
2. 2
   Площадь треугольника равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности:$$S = pr$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь квадрата по радиусу

Точка $O$ является серединой стороны $CD$ квадрата $ABCD$. Радиус окружности с центром в точке $O$, проходящей через вершину $A$, равен $\sqrt{5}$. Найдите площадь квадрата $ABCD$.

1. 1
   Пусть сторона квадрата равна $a$. Поскольку $O$ — середина стороны $CD$, имеем $OD=\dfrac{a}{2}$, а $AD=a$.
2. 2
   Треугольник $AOD$ прямоугольный, поэтому по теореме Пифагора:$$OA^2=AD^2+OD^2=a^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Угол вписанного четырёхугольника

Угол $A$ четырёхугольника $ABCD$, вписанного в окружность, равен $71^\circ$. Найдите угол $C$ этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Углы $A$ и $C$ являются противоположными углами вписанного четырёхугольника, поэтому их сумма равна $180^\circ$.$$\angle A + \angle C = 180^\circ$$
2. 2
   Подставим известное значение угла $A$ и найдём угол $C$.$$\angle C = 180^\circ - 71^\circ = 109^\circ$$

Угол между радиусами

Отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры окружности с центром в точке $O$. Угол $ACB$ равен $23^\circ$. Найдите угол $AOD$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Углы $ACB$ и $AOB$ опираются на одну и ту же дугу $AB$. Центральный угол в два раза больше вписанного.$$\angle AOB = 2\angle ACB = 2\cdot23^\circ = 46^\circ$$
2. 2
   Так как $BD$ — диаметр, лучи $OB$ и $OD$ являются противоположными. Углы $AOB$ и $AOD$ в сумме дают развернутый угол.$$\angle AOD = 180^\circ - \angle AOB = 180^\circ - 46^\circ = 134^\circ$$

Угол вписанной трапеции

Угол $A$ трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, вписанной в окружность, равен $111^\circ$. Найдите угол $C$ этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Трапеция $ABCD$ вписана в окружность, поэтому является вписанным четырёхугольником. Сумма её противоположных углов равна $180^\circ$.$$\angle A + \angle C = 180^\circ$$
2. 2
   Подставим значение угла $A$ и найдём угол $C$.$$\angle C = 180^\circ - 111^\circ = 69^\circ$$

Угол, опирающийся на хорду

На окружности по разные стороны от диаметра $AB$ взяты точки $M$ и $N$. Известно, что $\angle NBA = 68^\circ$. Найдите угол $NMB$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Так как $AB$ — диаметр окружности, вписанный угол $ANB$ является прямым:$$\angle ANB = 90^\circ$$
2. 2
   В треугольнике $ABN$ найдём угол $NAB$:$$\angle NAB = 180^\circ - 90^\circ - 68^\circ = 22^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол между диаметрами окружности

Отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры окружности с центром в точке $O$. Угол $ACB$ равен $74^\circ$. Найдите угол $AOD$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Центральный угол $AOB$ в два раза больше вписанного угла $ACB$, опирающегося на ту же дугу $AB$.$$\angle AOB=2\angle ACB=2\cdot74^\circ=148^\circ$$
2. 2
   Так как $BD$ — диаметр, лучи $OB$ и $OD$ являются противоположными. Поэтому углы $AOB$ и $AOD$ смежные.$$\angle AOD=180^\circ-\angle AOB=180^\circ-148^\circ=32^\circ$$

Угол в окружности

В окружности с центром в точке $O$ отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры. Угол $AOD$ равен $114^\circ$. Найдите угол $ACB$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Поскольку $BD$ — диаметр, лучи $OB$ и $OD$ являются противоположными. Поэтому углы $AOB$ и $AOD$ в сумме дают развёрнутый угол.$$\angle AOB = 180^\circ - \angle AOD = 180^\circ - 114^\circ = 66^\circ$$
2. 2
   Угол $ACB$ — вписанный, а угол $AOB$ — центральный; они опираются на одну и ту же дугу $AB$. Вписанный угол вдвое меньше центрального.$$\angle ACB = \dfrac{1}{2}\angle AOB = \dfrac{66^\circ}{2} = 33^\circ$$

Высота равнобедренной трапеции

Радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, равен 22. Найдите высоту этой трапеции.

1. 1
   Основания трапеции — параллельные прямые, к которым касается вписанная окружность. Расстояние между ними равно диаметру окружности и совпадает с высотой трапеции.$$h = 2r$$
2. 2
   Подставим радиус окружности:$$h = 2 \cdot 22 = 44$$