ФИПИ тапсырмаларының шешімдері ОГЭ по математика: «Шеңбер және іштей сызылған фигуралар» — жауаптарымен

Площадь описанного квадрата

Найдите площадь квадрата, описанного около окружности радиуса 9.

1. 1
   В квадрат, описанный около окружности, окружность вписана. Поэтому сторона квадрата равна диаметру окружности.$$a = 2r = 2 \cdot 9 = 18$$
2. 2
   Вычислим площадь квадрата.$$S = a^2 = 18^2 = 324$$

Прямоугольный треугольник в окружности

Центр окружности, описанной около треугольника $ABC$, лежит на стороне $AB$. Радиус окружности равен $20{,}5$. Найдите $BC$, если $AC = 9$.

1. 1
   Центр описанной окружности лежит на стороне $AB$, значит $AB$ является диаметром окружности.$$AB = 2R = 2 \cdot 20{,}5 = 41$$
2. 2
   Угол, опирающийся на диаметр, прямой. Следовательно, треугольник $ABC$ прямоугольный, и по теореме Пифагора:$$BC^2 = AB^2 - AC^2 = 41^2 - 9^2 = 1600$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Сторона треугольника в окружности

Центр окружности, описанной около треугольника $ABC$, лежит на стороне $AB$. Радиус окружности равен 20. Найдите $BC$, если $AC = 32$.

1. 1
   Так как центр окружности лежит на стороне $AB$, отрезок $AB$ является диаметром окружности.$$AB = 2R = 2 \cdot 20 = 40$$
2. 2
   Угол $ACB$ прямой по теореме Фалеса, поэтому в прямоугольном треугольнике $ABC$ применяем теорему Пифагора.$$BC^2 = AB^2 - AC^2$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Площадь описанного квадрата

Найдите площадь квадрата, описанного около окружности радиуса $18$.

1. 1
   Окружность вписана в квадрат, поэтому сторона квадрата равна диаметру окружности.$$a = 2r = 2 \cdot 18 = 36$$
2. 2
   Вычислим площадь квадрата.$$S = a^2 = 36^2 = 1296$$

Радиус вписанной окружности

Диагональ ромба равна 32, а его площадь равна 384. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

1. 1
   По формуле площади ромба найдём вторую диагональ:$$d_2 = \dfrac{2S}{d_1} = \dfrac{2 \cdot 384}{32} = 24$$
2. 2
   Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Найдём сторону ромба:$$a = \sqrt{\left(\dfrac{32}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{24}{2}\right)^2} = \sqrt{16^2 + 12^2} = 20$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Радиус вписанной окружности ромба

Диагональ ромба равна 36, а его сторона равна 30. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

1. 1
   Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Половина одной диагонали равна $18$.$$\frac{36}{2}=18$$
2. 2
   По теореме Пифагора найдём половину второй диагонали:$$x=\sqrt{30^2-18^2}=\sqrt{576}=24$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Площадь прямоугольника по диагонали

Синус угла между стороной и диагональю прямоугольника равен 0,6. Диаметр описанной около него окружности равен 5. Найдите площадь прямоугольника.

1. 1
   Диаметр описанной окружности прямоугольника равен его диагонали, поэтому $d=5$.
2. 2
   Синус угла между стороной и диагональю равен отношению противолежащей стороны к диагонали. Найдём одну из сторон:$$b=d\sin\alpha=5\cdot0{,}6=3$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Угол между радиусом и хордой

Касательные в точках $A$ и $B$ к окружности с центром в точке $O$ пересекаются под углом $72^\circ$. Найдите угол $ABO$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Радиусы $OA$ и $OB$ перпендикулярны касательным в точках $A$ и $B$. Поэтому в четырёхугольнике, образованном радиусами и двумя отрезками касательных, сумма двух прямых углов равна $180^\circ$.
2. 2
   Центральный угол $AOB$ дополняет угол между касательными до $180^\circ$:$$\angle AOB = 180^\circ - 72^\circ = 108^\circ$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Радиус описанной окружности

Сторона квадрата равна $16\sqrt{2}$. Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.

1. 1
   Найдём диагональ квадрата по формуле $d=a\sqrt{2}$.$$d=16\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=32$$
2. 2
   Диагональ квадрата является диаметром описанной окружности, поэтому радиус равен половине диагонали.$$R=\dfrac{d}{2}=\dfrac{32}{2}=16$$

Сторона треугольника по диаметру

Центр окружности, описанной около треугольника $ABC$, лежит на стороне $AB$. Радиус окружности равен $15$. Найдите $BC$, если $AC = 24$.

1. 1
   Центр окружности лежит на стороне $AB$, значит $AB$ является диаметром окружности.$$AB = 2R = 2 \cdot 15 = 30$$
2. 2
   Угол, опирающийся на диаметр, прямой, поэтому треугольник $ABC$ прямоугольный с гипотенузой $AB$.$$\angle ACB = 90^\circ$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Сторона описанного четырёхугольника

Четырёхугольник $ABCD$ описан около окружности, $AB = 12$, $BC = 6$, $CD = 13$. Найдите $AD$.

1. 1
   В описанном около окружности четырёхугольнике суммы длин противоположных сторон равны.$$AB + CD = BC + AD$$
2. 2
   Подставим известные значения и найдём длину стороны $AD$.$$12 + 13 = 6 + AD$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Площадь прямоугольника по диагонали

Синус угла между стороной и диагональю прямоугольника равен $0{,}8$. Диаметр описанной около него окружности равен $10$. Найдите площадь прямоугольника.

1. 1
   Диагональ прямоугольника является диаметром описанной окружности, поэтому диагональ равна $10$.$$d = 10$$
2. 2
   В прямоугольном треугольнике, образованном сторонами прямоугольника и его диагональю, синус угла равен отношению противолежащей стороны к диагонали. Одна из сторон равна:$$a = d \cdot \sin \alpha = 10 \cdot 0{,}8 = 8$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Радиус описанной окружности

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $120^\circ$, $AB = 18\sqrt{3}$. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

1. 1
   Сторона $AB$ противоположна углу $C$, поэтому по теореме синусов для описанной окружности:$$AB = 2R\sin C$$
2. 2
   Подставим известные значения:$$18\sqrt{3} = 2R\sin 120^\circ = 2R\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Угол, опирающийся на дугу

На окружности по разные стороны от диаметра $AB$ взяты точки $M$ и $N$. Известно, что $\angle NBA = 34^\circ$. Найдите угол $NMB$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Угол $\angle NBA$ — вписанный, поэтому дуга $AN$, на которую он опирается, вдвое больше этого угла.$$\widehat{AN}=2\cdot\angle NBA=2\cdot34^\circ=68^\circ$$
2. 2
   Так как $AB$ — диаметр, дуга $ANB$ является полуокружностью.$$\widehat{AN} + \widehat{NB}=180^\circ$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Радиус вписанной окружности

Диагональ ромба равна 16, а сторона ромба равна 10. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

1. 1
   Половина данной диагонали ромба равна $8$. В прямоугольном треугольнике, образованном половиной диагонали, высотой и стороной ромба, найдём высоту:$$h=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6$$
2. 2
   Площадь ромба равна произведению стороны на высоту:$$S=10\cdot6=60$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Сторона описанного четырёхугольника

Четырёхугольник $ABCD$ описан около окружности. Известно, что $AB = 7$, $BC = 10$, $CD = 14$. Найдите $AD$.

1. 1
   В четырёхугольнике, описанном около окружности, суммы длин противоположных сторон равны.$$AB + CD = BC + AD$$
2. 2
   Подставим известные значения и найдём длину стороны $AD$.$$7 + 14 = 10 + AD$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Сторона вписанного треугольника

В окружность с центром в точке $O$ вписан равносторонний треугольник. Расстояние от точки $O$ до сторон треугольника равно $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$. Найдите сторону треугольника.

1. 1
   В равностороннем треугольнике расстояние от центра до стороны равно одной трети высоты.$$d=\frac{h}{3}=\frac{a\sqrt{3}}{6}$$
2. 2
   Подставим известное расстояние до стороны и найдём сторону треугольника.$$\frac{a\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Площадь треугольника по радиусу

Периметр треугольника равен 71, одна из сторон равна 21, а радиус вписанной в него окружности равен 6. Найдите площадь этого треугольника.

1. 1
   Найдём полупериметр треугольника:$$p = \dfrac{71}{2} = 35{,}5$$
2. 2
   Площадь треугольника равна произведению радиуса вписанной окружности на полупериметр:$$S = r \cdot p$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Сторона квадрата по радиусу

Радиус окружности, описанной около квадрата, равен $32\sqrt{2}$. Найдите длину стороны этого квадрата.

1. 1
   Диагональ квадрата совпадает с диаметром описанной окружности.$$d = 2R = 2 \cdot 32\sqrt{2} = 64\sqrt{2}$$
2. 2
   Диагональ квадрата равна стороне, умноженной на $\sqrt{2}$. Найдём длину стороны.$$a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{64\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 64$$

Угол треугольника в окружности

Центр окружности, описанной около треугольника $ABC$, лежит на стороне $AB$. Найдите угол $ABC$, если угол $BAC$ равен $30^\circ$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Центр окружности лежит на стороне $AB$, значит, $AB$ — диаметр окружности.
2. 2
   По теореме Фалеса угол, опирающийся на диаметр, прямой:$$\angle ACB = 90^\circ$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде