Базовая математика ЕГЭ — решения заданий ФИПИ с ответами

Печений, посыпанных и сахаром, и корицей, не может быть больше, чем печений, посыпанных корицей. Таких печений всего 10.$$|Сахар \cap Корица| \leq 10$$

Максимальное число печений, посыпанных хотя бы одной из посыпок, равно 20 + 10 = 30, если общих печений нет. Поэтому ничем не посыпанными могут быть от 10 до 20 печений. Число 9 невозможно.$$40 - |Сахар \cup Корица| \geq 40 - 30 = 10$$

Зелёных шариков 15 - 8 = 7, а рисунков всего 3.$$15 - 8 = 7$$

На зелёных шариках может быть не более трёх рисунков, значит без рисунков останутся как минимум 7 - 3 = 4 зелёных шарика. Следовательно, утверждение 3 верно.$$7 - 3 = 4 \geq 2$$

Пусть $x$ — число печений, посыпанных одновременно сахаром и корицей. Так как корицей посыпано 10 печений, а сахаром — 20, пересечение множеств не может содержать больше 10 печений: $0 \leq x \leq 10$.$$0 \leq x \leq 10$$

Число печений, посыпанных хотя бы чем-то, равно $10+20-x=30-x$. Поэтому число печений без посыпки равно $40-(30-x)=10+x$, то есть находится в диапазоне от 10 до 20. Утверждение 1 неверно.$$40-(10+20-x)=10+x$$

Из условия «Ира младше Алисы, но старше Оли» получаем цепочку: Алиса старше Иры, а Ира старше Оли.$$Алиса > Ира > Оля$$

Следовательно, Алиса старше Оли, поэтому утверждение 3 верно.

По условию длина каждой рыбки больше 3 см и не превышает 13 см: $3 < l \leq 13$.

Утверждение 1 неверно: рыбок длиной меньше 3 см в аквариуме нет.

По условию высота каждого жилого дома не меньше 5 метров и меньше 25 метров.$$5 \leq h < 25$$

Утверждение 1 верно: если высота дома не меньше 5 метров, то она обязательно не меньше 3 метров.

Обозначим через $A$ множество учащихся, которые ходили на спектакль «Вишнёвый сад», а через $B$ — множество учащихся, которые пойдут на постановку «Три сестры».

По условию среди участников постановки «Три сестры» нет тех, кто ходил на спектакль «Вишнёвый сад». Следовательно, множества не пересекаются:$$A \cap B = \varnothing$$

Пусть $S$ — множество учащихся, ездивших зимой в Суздаль, а $K$ — множество учащихся, которые весной поедут в Кострому. По условию среди поехавших в Кострому нет тех, кто ездил в Суздаль, поэтому $S \cap K = \varnothing$.$$S \cap K = \varnothing$$

Учащиеся из множества $S$ не входят в множество $K$, то есть не поедут в Кострому. Поскольку множество $S$ непусто, утверждение 1 верно.

Обозначим массы животных: жираф тяжелее верблюда, верблюд тяжелее тигра, а леопард легче верблюда.$$m_{\text{жирафа}} > m_{\text{верблюда}} > m_{\text{тигра}},\quad m_{\text{леопарда}} < m_{\text{верблюда}}$$

Так как жираф тяжелее верблюда, а леопард легче верблюда, жираф тяжелее леопарда. Утверждение 2 верно.

Пусть $x$ — число печений, посыпанных одновременно сахаром и корицей. Поскольку корицей посыпаны 10 печений, число $x$ не может превышать 10.$$0 \leqslant x \leqslant 10$$

Число печений, посыпанных хотя бы чем-то, равно сумме количеств посыпанных сахаром и корицей минус число печений с двумя посыпками.$$20+10-x=30-x$$

Обозначим: A — Николай Дмитриевич ведёт урок физики; B — его телефон выключен. По условию верно A → B.$$A \Rightarrow B$$

Утверждение 1 является равносильной исходному условию формулировкой по закону противопоставления: если телефон включён, то урок физики не ведётся.$$\neg B \Rightarrow \neg A$$

Из условия «Вова старше Даши, но младше Егора» получаем цепочку возрастов:$$Даша < Вова < Егор$$

Следовательно, Даша младше Егора, поэтому утверждение 2 верно.

Обозначим через $A$ множество учащихся, которые ходили на оперу «Евгений Онегин», а через $B$ — множество учащихся, которые пойдут на оперу «Руслан и Людмила». По условию оба множества непусты, и учащиеся из $A$ не входят в $B$.$$A \cap B = \varnothing$$

Утверждение 1 неверно: из условия не следует, что каждый учащийся, не входящий в $A$, обязательно входит в $B$.

В условии сказано, что некоторые дачники, выращивающие виноград, выращивают также и груши. Значит, существует хотя бы один дачник, выращивающий обе культуры.

Следовательно, утверждение 1 верно. Так как этот дачник выращивает виноград, утверждение 3 о существовании дачников, выращивающих виноград, также верно.

Берёза ниже клёна на 1 метр, значит клён выше берёзы.$$h_{\text{клёна}} > h_{\text{берёзы}}$$

Берёза выше дуба на 3 метра, значит берёза выше дуба.$$h_{\text{берёзы}} > h_{\text{дуба}}$$

Из условия «Оля младше Алисы, но старше Иры» получаем цепочку возрастов: Алиса старше Оли, а Оля старше Иры.$$Алиса > Оля > Ира$$

Лена не младше Иры, поэтому среди указанных людей нет человека младше Иры.

Печенья, посыпанные и сахаром, и корицей, образуют пересечение двух множеств. Это пересечение не может содержать больше печений, чем множество печений с корицей.$$|Сахар \cap Корица| \leq |Корица| = 10$$

Следовательно, утверждение 3 всегда верно.

Маша младше Ани на год, поэтому Аня старше Маши.

Маша старше Ксюши на два года, поэтому Ксюша младше Маши.

Обозначим через $x$ число человек, пользующихся обеими социальными сетями. При сложении чисел пользователей обе сети посчитанные дважды общие пользователи должны быть вычтены.$$25 + 10 - x$$

Всего в компании 30 человек, поэтому для пересечения групп получаем нижнюю оценку:$$25 + 10 - x \leq 30 \Rightarrow x \geq 5$$

По условию длина каждой рыбки больше 3 см и не превышает 15 см: $3 < L \leq 15$.

Утверждение 1 неверно, поскольку длина каждой рыбки больше 3 см.