Базовая математика ЕГЭ — решения заданий ФИПИ с ответами

Обозначим: $A$ — результат является мировым рекордом, $B$ — результат является олимпийским рекордом. Условие задачи имеет вид $A \Rightarrow B$.$$A \Rightarrow B$$

Утверждение 1 является противопоставленным исходному: если $B$ неверно, то $A$ также неверно. Поэтому оно верно.$$\neg B \Rightarrow \neg A$$

Обозначим множество учащихся, ездивших в Ярославль, через $A$, а множество учащихся, которые поедут во Владимир, через $B$.

По условию среди тех, кто поедет во Владимир, нет ездивших в Ярославль. Значит, $A \cap B = \varnothing$.

Зелёных шариков $15 - 8 = 7$. Даже если все три рисунка нанесены на зелёные шарики, без рисунков останутся $7 - 3 = 4$ зелёных шарика. Значит, утверждение 1 выполняется всегда.$$15 - 8 = 7,\quad 7 - 3 = 4$$

Всего рисунков три, поэтому пяти жёлтых шариков с рисунками быть не может. Утверждение 2 выполняется всегда.$$3 < 5$$

Из условия длина каждой рыбки удовлетворяет двойному неравенству:$$2 < l \leq 8$$

Наибольшая возможная разница длин рыбок не превышает разности верхней и нижней границ:$$8 - 2 = 6$$

Пусть $A$ — множество кексов с кокосовой стружкой, а $B$ — множество кексов с сахарной пудрой. Тогда $|A| = 15$, $|B| = 20$, всего кексов 45.

Проверим утверждение 1. Минимальное возможное число кексов с обеими посыпками равно $15 + 20 - 45 = 0$, поэтому утверждение о том, что таких кексов хотя бы 16, неверно.$$|A \cap B| \geq 15 + 20 - 45 = 0$$

Обозначим множество учащихся, ходивших на спектакль «Вишнёвый сад», через $A$, а множество учащихся, которые пойдут на постановку «Три сестры», через $B$.

По условию среди участников декабрьской постановки нет тех, кто ходил на октябрьский спектакль. Следовательно, $A \cap B = \varnothing$.

По условию рост каждого игрока удовлетворяет двойному неравенству:$$182 < h < 198$$

Игроков с ростом 180 см быть не может, поскольку 180 см не больше 182 см. Утверждение 2 верно.

Обозначим через $A$ множество учеников, посещающих кружок по биологии, а через $B$ — множество учеников, посещающих кружок по географии.

Число учеников, посещающих оба кружка, не меньше суммы численностей множеств за вычетом общего числа учеников класса:$$|A \cap B| \geq 20 + 16 - 29 = 7$$

Обозначим: $A$ — в доме больше 5 этажей, $B$ — в доме установлен лифт. Условие задачи задаёт импликацию $A \Rightarrow B$.$$A \Rightarrow B$$

Утверждение 1 является противоположным следствием исходной импликации: если лифта нет, то этажей не больше 5, то есть их меньше 6. Оно верно.$$\neg B \Rightarrow \neg A$$

Обозначим через $A$ множество учащихся, ездивших осенью в Нижний Новгород, а через $B$ — множество учащихся, которые весной поедут в Казань. По условию $A \ne \varnothing$, $B \ne \varnothing$ и $A \cap B = \varnothing$.$$A \cap B = \varnothing$$

Утверждение 1 верно, поскольку отсутствие пересечения означает, что ни один учащийся не входит одновременно в $A$ и $B$.

Из условий получаем: Егор старше Виктора, а Виктор старше Дениса.$$Егор > Виктор > Денис$$

Следовательно, Егор старше Дениса, поэтому утверждение 4 верно.

Найдём количество синих шариков:$$20 - 13 = 7$$

Рисунки нанесены только на 4 шарика, поэтому синих шариков с рисунками не может быть 5 или больше. Утверждение 1 верно.

Обозначим через $A$ множество сотрудников, знающих английский язык, а через $B$ — множество сотрудников, знающих французский язык.

Минимальное возможное число сотрудников, знающих оба языка, равно $|A|+|B|-|U|=50+15-60=5$.

Пусть $x$ — число человек, пользующихся обеими социальными сетями. Число пользователей хотя бы одной сети не превышает общего числа людей:$$|A \cup B| = 25 + 10 - x \leq 30$$

Из неравенства находим нижнюю границу для числа пользователей обеих сетей:$$x \geq 5$$

Число машин, которым одновременно нужны замена колодок и замена фильтра, не может превышать число машин, которым нужна замена колодок.$$n(\text{колодки} \cap \text{фильтр}) \leq 5$$

Следовательно, 6 машин с обеими потребностями найти нельзя, а 7 машин с обеими потребностями тем более не найдётся. Утверждение 1 неверно, утверждение 3 верно.

Обозначим событие «кошка идёт по забору» через $A$, а событие «Шарик лает» — через $B$. Условие задачи имеет вид: если $A$, то $B$.$$A \Rightarrow B$$

Утверждение 2 является противоположным исходному условию: если Шарик молчит, то кошка по забору не идёт.$$\neg B \Rightarrow \neg A$$

Пусть $x$ — число человек, пользующихся обеими сетями. Общее число пользователей хотя бы одной сети не превышает 30.$$|A \cup B| = 25 + 20 - x \le 30$$

Из неравенства находим минимальное число пользователей обеих сетей.$$45 - x \le 30 \Rightarrow x \ge 15$$

Определим количество синих шариков:$$20 - 13 = 7$$

Рисунки есть только на четырёх шариках, поэтому красных шариков с рисунками не может быть 6. Утверждение 1 неверно.

Обозначим: $A$ — результат является мировым рекордом, $B$ — результат является олимпийским рекордом. Условие задаёт импликацию $A \Rightarrow B$.$$A \Rightarrow B$$

Утверждение 1 является контрапозицией исходного: если результат не является олимпийским рекордом, то он не является мировым рекордом. Это верно.$$\neg B \Rightarrow \neg A$$

Обозначим: $A$ — по забору идёт кошка, $B$ — Шарик лает. Условие задаёт импликацию $A \Rightarrow B$.$$A \Rightarrow B$$

Противопоставленное утверждение также верно: если Шарик не лает, то кошка по забору не идёт. Поэтому утверждение 2 верно.$$\neg B \Rightarrow \neg A$$