Базовая математика ЕГЭ — решения заданий ФИПИ с ответами

Обозначим стоимости доски, видеопроектора, принтера и стола буквами $d$, $v$, $p$ и $s$ соответственно. По условию: $p > v$, $d < v$ и $d < s$.$$d < v < p,\quad d < s$$

Из цепочки $d < v < p$ следует, что принтер дороже доски. Утверждение 2 верно.$$p > d$$

По условию любой сотрудник, отдыхавший в Сочи, не отдыхал в Крыму. Следовательно, ни один сотрудник не отдыхал одновременно в обоих местах.$$Сочи \cap Крым = \varnothing$$

Так как некоторые сотрудники отдыхали в Крыму, а в Сочи они не отдыхали, среди сотрудников, не отдыхавших в Сочи, есть хотя бы один отдыхавший в Крыму.

Обозначим массы животных: $m_{я}$ — масса яка, $m_{л}$ — масса льва, $m_{м}$ — масса медведя, $m_{с}$ — масса страуса.$$m_{я} > m_{л},\quad m_{м} < m_{я},\quad m_{с} < m_{л}$$

Так как $m_{с} < m_{л}$ и $m_{л} < m_{я}$, то страус легче яка: $m_{с} < m_{я}$.

Обозначим возраст Кати через $K$. Тогда Маша старше Кати на два года:$$M = K + 2$$

Алиса старше Маши на один год:$$A = M + 1 = K + 3$$

Обозначим вес Машки через $m$ килограммов. Тогда вес Китти равен $m + 3$, а вес Лады — $m - 1{,}5$.$$K = m + 3,\quad L = m - 1{,}5$$

Из полученных выражений следует порядок весов: Лада легче Машки, а Машка легче Китти.$$L < M < K$$

По условию существуют жители, которые одновременно учатся и работают. Следовательно, хотя бы один работающий житель учится.

Из существования жителей, которые одновременно учатся и работают, также следует, что хотя бы один житель дома работает.

Уроки географии проходят два раза в неделю: по понедельникам и четвергам. Атлас нужно приносить на каждый из этих уроков.

Утверждение 1 верно: в понедельник проходит урок географии, поэтому Маше нужно принести атлас.

Обозначим стоимости товаров: морса — $M$, мороженого — $I$, крабовых палочек — $K$, рыбы — $F$.

По условию получаем неравенства:$$K < I < F,\quad M < I$$

Обозначим событие «какая-нибудь кошка идёт по забору» через $A$, а событие «Бим лает» через $B$. Условие означает: если происходит $A$, то обязательно происходит $B$.$$A \Rightarrow B$$

Утверждение 1 является противоположным по форме следствием исходного условия: если Бим молчит, то кошка по забору не идёт.$$\neg B \Rightarrow \neg A$$

Вычислим температуру в Архангельске: она на $4\,^\circ\mathrm{C}$ ниже московской.$$t_{\text{Арх}}=3-4=-1\, ^\circ\mathrm{C}$$

Вычислим температуру в Махачкале: она на $3\,^\circ\mathrm{C}$ выше московской.$$t_{\text{Мах}}=3+3=6\, ^\circ\mathrm{C}$$

Из условия высота каждого жилого дома удовлетворяет неравенству $4 \leq h < 25$.$$4 \leq h < 25$$

Утверждение 1 неверно: высота 30 метров больше 25 метров и противоречит условию.

Отбираем учащихся, у которых балл по математике меньше 75: 1, 2, 3, 5, 6 и 8.

Проверяем условие получения грамоты. У учащегося 1 сумма равна 107 — грамота не положена. У учащихся 2 и 3 суммы равны 146 и 150 — они получают грамоты. У учащегося 5 сумма равна 89 — грамота не положена. У учащегося 6 сумма равна 99…

Обозначим: $A$ — по двору идёт какая-нибудь кошка, $B$ — Шарик лает. По условию верно $A \Rightarrow B$.

Утверждение 2 является контрапозицией данного условия: если Шарик не лает, то кошка по двору не идёт. Следовательно, оно верно.

Пусть $x$ — число человек, пользующихся обеими социальными сетями. Так как всего в компании 40 человек, объединение множеств пользователей не может превышать 40:$$25 + 20 - x \leq 40$$

Отсюда получаем нижнюю границу числа пользователей обеих сетей:$$x \geq 5$$

По условию, если в доме больше 12 этажей, то в нём установлены электрические плиты, а газовые плиты не устанавливаются.

Утверждение 1 верно: если газовые плиты установлены, то этажей не больше 12, то есть меньше 13.

По условию длина каждой рыбки больше 3 см. Поэтому утверждение 1 неверно: рыбок длиной меньше 3 см нет.$$l > 3$$

Длина каждой рыбки не превышает 13 см, поэтому рыбки длиной 14 см в аквариуме быть не может. Утверждение 2 верно.$$l \leq 13$$

По условию некоторые учащиеся съели булочку, а некоторые получат сочник. Среди получающих сочник нет тех, кто съел булочку, поэтому эти две группы не пересекаются.$$A \cap B = \varnothing$$

Так как группа съевших булочку непуста и не пересекается с группой получающих сочник, каждый учащийся из первой группы не получит сочник. Значит, утверждения 3 и 4 верны.

Пусть $x$ — число человек, пользующихся обеими сетями. Так как всего пользователей «ВКонтакте» 10, пересечение не может содержать больше 10 человек.$$x \leq 10$$

Число людей, пользующихся хотя бы одной сетью, равно $18 + 10 - x$. Оно не превосходит общего числа людей в компании.$$18 + 10 - x \leq 26$$

По условию рост каждого игрока удовлетворяет неравенству $180 < h < 195$.

Утверждение 1 неверно: из условия не следует наличие игрока ростом $200$ см; более того, такой рост невозможен.

Обозначим массы животных: $m_ж$ — масса жирафа, $m_в$ — масса верблюда, $m_т$ — масса тигра, $m_л$ — масса леопарда.$$m_ж > m_в > m_т,\quad m_в > m_л$$

Так как жираф тяжелее верблюда, а верблюд тяжелее леопарда, жираф тяжелее леопарда.$$m_ж > m_в > m_л$$