Базовая математика ЕГЭ — решения заданий ФИПИ с ответами

По условию среди жителей дома есть те, кто работает. Значит, утверждение 1 верно.

Некоторые жители одновременно учатся и работают. Следовательно, среди работающих жителей есть хотя бы один учащийся, поэтому утверждение 2 верно.

Из условия для роста каждого волейболиста $h$ следует двойное неравенство:$$190 < h < 210$$

Утверждение 1 неверно: рост 220 см не удовлетворяет условию $h < 210$.

По условию утром некоторые дети ходили купаться на речку. Значит, такие дети существуют.

Среди тех, кто днём пойдёт в бассейн, не будет детей, ходивших утром на речку. Следовательно, все дети, ходившие на речку, не пойдут в бассейн.

По условию некоторые дачники выращивают виноград и одновременно груши. Следовательно, такой дачник существует, поэтому утверждение 1 верно.

Так как существуют дачники, выращивающие виноград, среди дачников посёлка есть те, кто выращивает виноград. Утверждение 2 верно.

Обозначим через $A$ множество сотрудников, ездивших на курсы в Пятигорск, а через $B$ — множество сотрудников, поехавших на стажировку в Волгоград. По условию множества не пересекаются: $A \cap B = \varnothing$.$$A \cap B = \varnothing$$

Сотрудники из множества $A$ не входят в множество $B$, поэтому они не поедут на стажировку в Волгоград. Так как множество $A$ непусто, среди не поехавших на стажировку есть хотя бы один посетивший курсы. Верно утверждение 2.

Обозначим этажность домов Кати, Оксаны, Толи и Феди буквами $K$, $O$, $T$ и $F$ соответственно. По условию:$$K > O,\quad T < O,\quad F > T$$

Из неравенств $T < O$ и $O < K$ получаем цепочку:$$T < O < K$$

Рассмотрим учащихся, набравших меньше 80 баллов по географии: это ученики 2, 3, 4, 5, 7 и 8.

Проверим условие получения грамоты для этих учащихся. У ученика 2 по биологии 84 балла, у ученика 5 — 93 балла, у ученика 7 — 81 балл. Во всех трёх случаях хотя бы по одному предмету набрано не меньше 80 баллов.

Обозначим: $A$ — по забору идёт кошка, $B$ — Полкан лает. Условие утверждает импликацию $A \Rightarrow B$.

Утверждение 1 неверно: из лая или молчания нельзя заключить, что кошка идёт по забору.

Из первого условия следует, что среди школьников из Твери есть зарегистрированные во «ВКонтакте». Поэтому утверждение 3 верно, а утверждение 2 неверно.

Из второго условия следует, что существует школьник из Твери, зарегистрированный в «Одноклассниках». Поэтому утверждение 4 верно.

Обозначим через $A$ множество учеников, посещающих кружок по истории, а через $B$ — множество учеников, посещающих кружок по математике.

Минимальное число учеников, посещающих оба кружка, равно $|A \cap B| \geq 13 + 10 - 18 = 5$. Следовательно, таких учеников гарантированно найдётся хотя бы трое. Утверждение 2 верно.$$|A \cap B| \geq |A| + |B| - 18 = 13 + 10 - 18 = 5$$

Обозначим стоимости морса, мороженого, крабовых палочек и рыбы соответственно через $m$, $i$, $c$ и $f$.

По условию имеем цепочку сравнений: морс дешевле мороженого, крабовые палочки дешевле мороженого, а мороженое дешевле рыбы.$$m < i,\quad c < i < f$$

Уроки географии проходят по вторникам и пятницам, поэтому в эти дни ученики должны приносить атлас.

Утверждение 1 верно: по понедельникам урока географии нет, поэтому атлас брать не нужно.

Обозначим стоимости стола, стеллажа, проектора и ксерокса соответственно через $s$, $r$, $p$ и $x$. Из условия получаем:$$s > r,\quad x < p,\quad x < r$$

Поскольку $s > r$ и $r > x$, то по свойству транзитивности неравенств $s > x$. Утверждение 1 верно.$$s > r > x \Rightarrow s > x$$

Обозначим рост любого игрока через $h$. По условию $185 < h < 210$.

Утверждение 1 верно: рост 184 см не может принадлежать промежутку $185 < h < 210$.

Обозначим количество этажей в домах Маши, Стаса, Ксюши и Нади соответственно буквами $M$, $S$, $K$ и $N$.

Из условия получаем неравенства $M < S$, $S < K$ и $M < N < K$.

Обозначим рост игрока через $h$. По условию для каждого игрока выполняется неравенство:$$180 < h < 197$$

Утверждение 1 неверно: условие не требует наличия игрока ростом $200$ см, более того, такой рост невозможен.

Пусть $x$ — количество дней, когда Андрей Сергеевич ходил и на смотровую площадку, и на пляж. Поскольку на смотровую площадку он ходил всего 2 раза, $x \leq 2$.$$x \leq 2$$

Следовательно, 4 дня с посещением обоих мест быть не может. Утверждение 1 верно.

Определим количество синих шариков:$$20 - 13 = 7$$

Рисунки нанесены только на 4 шарика, поэтому красных шариков с рисунками не может быть 6. Утверждение 1 неверно.$$4 < 6$$

Из условия следует, что рост каждого игрока удовлетворяет неравенству:$$170 < h < 190$$

Утверждение 1 неверно: рост 160 см не удовлетворяет условию $h > 170$.

Обозначим цены ананаса, торта, мясной нарезки и сока соответственно через $a$, $t$, $m$ и $s$. Из условия получаем:$$a < t < m,\quad s < t$$

Так как $a < t$ и $t < m$, то по свойству транзитивности неравенств $a < m$. Утверждение 1 верно.$$a < t < m \Rightarrow a < m$$