Базовая математика ЕГЭ — решения заданий ФИПИ с ответами

Выбираем учащихся, набравших меньше 65 баллов по географии: это ученики 3, 5, 6, 7 и 8.

Проверяем получение похвальной грамоты. У ученика 5 по биологии 98 баллов, у ученика 7 — 72 балла. В обоих случаях хотя бы по одному предмету набрано не меньше 65 баллов.

Пусть $x$ — число студентов, сдавших оба зачёта. Так как всего в группе 30 студентов, по принципу включения-исключения число студентов, сдавших хотя бы один зачёт, равно $20 + 20 - x = 40 - x$ и не может превышать 30.$$40 - x \leq 30 \Rightarrow x \geq 10$$

Число студентов, сдавших оба зачёта, не может быть больше числа сдавших каждый из зачётов.$$x \leq \min(20,20)=20$$

Если Надя находится у бабушки в гостях, то у неё заплетены косички. Поэтому утверждение, обратное этому правилу: если косичек нет, то Нади нет у бабушки в гостях — верно.$$A \Rightarrow B \;\Longrightarrow\; \neg B \Rightarrow \neg A$$

Если Надя идёт на физкультуру, она всегда заплетает себе косички. Сдача норматива по бегу на физкультуре означает, что она находится на физкультуре, значит, она с косичками.$$C \Rightarrow B$$

Пусть $A$ — множество пользователей «Одноклассников», а $B$ — множество пользователей «ВКонтакте». Объединение этих множеств содержит не более 20 человек.$$|A \cup B| \leq 20$$

По формуле включений и исключений найдём нижнюю границу числа людей, пользующихся обеими сетями:$$|A \cap B| = |A| + |B| - |A \cup B| \geq 15 + 10 - 20 = 5$$

Пусть высота рябины равна $h$ метров. Тогда высота ясеня равна $h+1$ метр.

Так как ясень ниже осины на 2 метра, высота осины равна $(h+1)+2=h+3$ метров.

Баллы по физике меньше 65 имеют ученики 1, 3, 5, 7, 8 и 9.

Проверим условие получения грамоты. Ученик 1 не подходит: сумма баллов равна 103, а максимальный отдельный балл равен 63. Ученик 3 подходит, так как балл по биологии равен 70.

Пусть $x$ — число человек, пользующихся обеими социальными сетями. Так как сетью «ВКонтакте» пользуются 11 человек, то $x \leq 11$.$$x \leq 11$$

Число людей, пользующихся хотя бы одной сетью, равно $17 + 11 - x$. Оно не может превышать 25 человек.$$17 + 11 - x \leq 25$$

По условию, существуют жители, которые одновременно учатся и работают. Значит, хотя бы один работающий житель учится.

Из существования жителей, которые работают и учатся, следует, что хотя бы один житель дома работает.

Из фразы «Андрей выступает на концертах только со своей гитарой» следует: если Андрей выступает на концерте, то он находится с гитарой.

Утверждение 1 неверно: наличие гитары само по себе не означает, что Андрей будет выступать на концерте.

Обозначим высоту сосны через $h$. Тогда высота клёна равна $h+1$, а высота тополя — $h-2$.$$h-2<h<h+1$$

Любое дерево, которое выше клёна, тем более выше сосны, поэтому утверждение 2 верно.

Печенья, посыпанные и сахаром, и корицей, образуют пересечение двух групп. Его размер не может быть больше числа печений с корицей:$$|A \cap B| \leq |A| = 10$$

Следовательно, утверждение 3 верно, а утверждение 1 неверно: 18 печений в пересечении быть не может.

Уроки географии проходят по вторникам и четвергам, поэтому в эти дни ученики должны приносить атлас.

Утверждение 1 верно: четверг является днём урока географии.

Из условия высота каждого дома удовлетворяет неравенству $5 \leq h < 25$.$$5 \leq h < 25$$

Утверждение 1 неверно: высота 25 метров запрещена условием $h < 25$.

По условию, если в доме больше 5 этажей, то в нём установлен лифт.

Если лифта нет, то дом не может иметь больше 5 этажей. Значит, этажей меньше 6, поэтому утверждение 2 верно.

По условию некоторые жители дома одновременно учатся и работают. Значит, существует хотя бы один работающий житель, который учится.

Так как существуют жители, которые работают и учатся, работающие жители в доме точно есть.

Обозначим: $A$ — спортсмен установил мировой рекорд, $B$ — результат является олимпийским рекордом. Условие задачи записывается как импликация $A \Rightarrow B$.$$A \Rightarrow B$$

Контрапозиция истинной импликации также истинна: если результат не является олимпийским рекордом, то он не является мировым рекордом. Это утверждение 3.$$\neg B \Rightarrow \neg A$$

Обозначим рост футболиста через $h$. По условию для каждого игрока выполняется неравенство:$$172 < h < 192$$

Рост $170$ см не удовлетворяет условию $h > 172$, поэтому игроков ростом $170$ см в команде нет. Утверждение 2 верно.

Обозначим стоимости стеллажа, стола, проектора и ксерокса соответственно через $s$, $t$, $p$ и $k$. По условию:$$s > t,\quad k < t,\quad k < p$$

Из неравенств $s > t$ и $t > k$ следует, что стеллаж дороже ксерокса:$$s > t > k$$

По условию, если в доме больше 12 этажей, то газовые плиты не устанавливаются.

Следовательно, если газовые плиты установлены, то этажей не больше 12. Это также означает, что этажей меньше 13.

Обозначим: $A$ — Иван Петрович ведёт урок, $B$ — его телефон выключен. По условию верно $A \Rightarrow B$.

Из утверждения $A \Rightarrow B$ следует противоположное утверждение: если телефон включён, то Иван Петрович урок не ведёт. Поэтому утверждение 1 верно.