Базовая математика ЕГЭ — решения заданий ФИПИ с ответами

Обозначим массы животных: буйвол тяжелее льва, лев тяжелее рыси, а буйвол тяжелее медведя.$$m_{\text{буйвола}} > m_{\text{льва}} > m_{\text{рыси}},\quad m_{\text{буйвола}} > m_{\text{медведя}}$$

Следовательно, буйвол тяжелее всех перечисленных животных, а рысь легче буйвола.

Обозначим рост футболиста через $h$. По условию для каждого игрока выполняется неравенство:$$180 < h < 190$$

Утверждение 1 неверно: из условия не следует, что в команде обязательно есть игрок ростом 170 см; более того, такой рост не удовлетворяет условию.

По условию лифт установлен в каждом доме, где этажей больше 4.

Утверждение 4 верно: если этажей больше 8, то их заведомо больше 4, следовательно, в доме есть лифт.$$8 > 4$$

Пусть пересечение групп печений, посыпанных сахаром и корицей, содержит $x$ печений. Поскольку корицей посыпаны 10 печений, $x \leq 10$.$$x \leq 10$$

Следовательно, утверждение 3 верно. Утверждение 1 неверно, так как 20 печений с обеими посыпками быть не может.

Обозначим через $A$ множество учеников, посещающих кружок английского языка, а через $B$ — множество учеников, посещающих кружок немецкого языка. Всего в классе 25 человек.$$|A|=16,\quad |B|=13,\quad |A\cup B|\leq 25$$

Минимальное возможное число учеников, посещающих оба кружка, получаем, если объединение кружков включает всех учеников класса.$$|A\cap B|\geq 16+13-25=4$$

Обозначим количество этажей в домах Кости, Олега, Тани и Феди буквами $K$, $O$, $T$ и $F$. Из условия получаем: $K > O$, $T < O$ и $F > T$.$$K > O > T, \quad F > T$$

Дом Тани ниже дома Олега, а дом Олега ниже дома Кости. Также дом Феди выше дома Тани. Значит, дом Тани имеет меньше этажей, чем каждый из трёх остальных домов.$$T < K, \quad T < O, \quad T < F$$

Уроки географии проходят по средам и пятницам, поэтому атлас нужно приносить именно в эти дни.

Утверждение 1 неверно: атлас берут не только в пятницу, но и в среду.

По условию высота каждого жилого дома удовлетворяет неравенству:$$5 < h < 25$$

Утверждение 1 неверно: высота 30 метров больше 25 метров и не соответствует условию.

Пусть первая группа состоит из учащихся, съевших ватрушку, а вторая — из учащихся, получающих рогалик. По условию среди получающих рогалик нет тех, кто съел ватрушку, поэтому группы не пересекаются.$$A \cap B = \varnothing$$

Утверждение 2 прямо выражает отсутствие пересечения групп, поэтому оно верно.

Обозначим через $A$ множество учащихся, съевших булочку, а через $B$ — множество учащихся, которые получат пирожок. По условию множества $A$ и $B$ непусты и не пересекаются.$$A \ne \varnothing,\quad B \ne \varnothing,\quad A \cap B = \varnothing$$

Так как множества не пересекаются, ни один учащийся, съевший булочку, не получит пирожок. Утверждение 1 верно.

Обозначим цены доски, принтера, проектора и стола соответственно через $d$, $p$, $r$ и $s$. По условию:$$r > p > d,\quad s > d$$

Из неравенств следует, что доска дешевле принтера, проектора и стола, то есть является самой дешёвой покупкой.$$d < p,\quad d < r,\quad d < s$$

Обозначим через $A$ множество сотрудников, знающих английский язык, а через $B$ — множество сотрудников, знающих немецкий язык. Всего сотрудников 40.

Минимальное возможное число сотрудников, знающих оба языка, равно разности суммы количеств знающих языки и общего числа сотрудников:$$|A \cap B| \geq 30+20-40=10$$

По условию длина каждой рыбки больше $2$ см и не превышает $8$ см: $2 < l \leq 8$.

Утверждение 1 неверно, так как ни одна рыбка не может быть короче $2$ см.

Из условия высота каждого жилого дома удовлетворяет неравенству:$$5 \leq h < 25$$

Утверждение 1 неверно: высота 25 метров запрещена условием $h < 25$.

Обозначим через $P$ множество работников, знающих португальский язык, а через $F$ — множество работников, знающих французский язык.

Минимальное возможное число людей, знающих оба языка, равно сумме численностей множеств за вычетом общего числа работников:$$|P \cap F| \geq |P| + |F| - 100 = 70 + 50 - 100 = 20$$

Исходное условие означает: если сотрудник не отдыхал на море, то он отдыхал на даче.$$\neg M \Rightarrow D$$

По закону контрапозиции из этого следует: если сотрудник не отдыхал на даче, то он отдыхал на море.$$\neg D \Rightarrow M$$

По условию, когда сумма баллов достигает установленного лимита, владелец карты получает постоянную скидку. Поэтому наличие постоянной скидки означает, что лимит достигнут.

Если скидки нет, то условие её получения не выполнено: установленный лимит ещё не достигнут. Это верно и для владельца карты, у которого пока нет скидки.

Кружек с чаем без сахара: $20 - 6 = 14$.

С лимоном могут быть не более 4 кружек. Поэтому кружек одновременно без сахара и без лимона будет не менее $14 - 4 = 10$. Значит, утверждение 1 верно.

Обозначим через $D$ утверждение «сотрудник отдыхал на даче», а через $M$ — «сотрудник отдыхал на море». Исходное условие имеет вид $\neg M \Rightarrow D$.$$\neg M \Rightarrow D$$

По закону противопоставления из $\neg M \Rightarrow D$ следует $\neg D \Rightarrow M$. Поэтому утверждение 3 верно.$$\neg D \Rightarrow M$$

Пусть $x$ человек пользуются обеими социальными сетями. Так как всего в компании 20 человек, число пользователей хотя бы одной сетью не превышает 20.

Отсюда получаем нижнюю границу для числа людей, пользующихся обеими сетями.