Базовая математика ЕГЭ — решения заданий ФИПИ с ответами

Обозначим через $C$ множество печений, посыпанных корицей, а через $S$ — множество печений, посыпанных сахаром. Тогда $|C|=10$, $|S|=20$.

Число печений, посыпанных одновременно сахаром и корицей, не может превышать количество печений в меньшей группе:$$|C \cap S| \leq \min(10,20)=10$$

Выбираем учащихся, набравших меньше 80 баллов по математике: это ученики 1, 3, 4, 5, 6, 7 и 9.

Проверяем условие для ученика 1: сумма баллов равна 112, ни один балл не достигает 80. Грамота не положена.

Обозначим через $A$ множество сотрудников, знающих английский язык, а через $B$ — немецкий. Тогда $|A| = 40$, $|B| = 20$, а $|A \cup B| \leq 50$.

Минимально возможное число сотрудников, знающих оба языка, равно$$|A \cap B| \geq 40 + 20 - 50 = 10$$

Пусть $A$ — множество кексов с кокосовой стружкой, а $B$ — множество кексов с сахарной пудрой. Тогда $|A|=15$, $|B|=25$, всего 45 кексов.$$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$$

Число кексов с обеими посыпками не может превышать число кексов с кокосовой стружкой: $|A \cap B| \leq 15$. Поэтому 16 таких кексов быть не может.$$|A \cap B| \leq \min(15,25)=15$$

Зелёных шариков $15 - 8 = 7$. Даже если все три рисунка нанесены на зелёные шарики, зелёных шариков без рисунков останется $7 - 3 = 4$, то есть найдутся 2 таких шарика.$$7 - 3 = 4 \geq 2$$

Рисунков всего 3, поэтому 5 жёлтых шариков с рисунками быть не может.$$3 < 5$$

Синих шариков $20 - 13 = 7$, а рисунки можно сделать только на трёх шариках.

Максимально возможное число синих шариков с рисунками равно 3, поэтому 5 синих шариков с рисунками быть не может. Утверждение 4 верно.

Обозначим: $A$ — кошка идёт по забору, $B$ — Шарик лает. По условию верно $A \Rightarrow B$.

Утверждение 1 является противоположным по смыслу следствием: из $A \Rightarrow B$ следует $\neg B \Rightarrow \neg A$. Поэтому оно верно.

Рассмотрим учеников, набравших меньше 75 баллов по русскому языку: 1, 3, 6, 7 и 9.

Ученик 1 получает грамоту, так как сумма баллов больше 140: $70+92=162$.

Обозначим через $A$ множество учеников, посещающих кружок по биологии, а через $B$ — множество учеников, посещающих кружок по географии.

Минимальное возможное число учеников, посещающих оба кружка, найдём по формуле включений и исключений:$$|A \cap B| \geq |A| + |B| - 28 = 20 + 16 - 28 = 8$$

Обозначим количество медалей у сборных. Из условия получаем: у Канады медалей больше, чем у Нидерландов; у Бельгии меньше, чем у Нидерландов; у Швейцарии меньше, чем у Канады.$$K > N > B,\quad K > S$$

Так как Канада завоевала больше медалей, чем Нидерланды, а Нидерланды — больше, чем Бельгия, Канада завоевала больше медалей, чем Бельгия.$$K > N > B \Rightarrow K > B$$

Обозначим высоту ясеня через $h$. Тогда высота берёзы на 1 метр больше, а высота осины на 2 метра меньше.$$h_{\text{берёзы}}=h+1,\quad h_{\text{осины}}=h-2$$

Следовательно, деревья расположены по высоте так: берёза, ясень, осина.$$h_{\text{берёзы}}>h_{\text{ясеня}}>h_{\text{осины}}$$

Баллы по русскому языку меньше 60 имеют ученики 1, 2, 3, 7, 8 и 9.

Проверим условие получения грамоты. У ученика 2 по биологии 85 баллов, у ученика 7 — 64 балла, у ученика 8 — 65 баллов. Во всех трёх случаях хотя бы по одному предмету набрано не меньше 60 баллов.

Обозначим цены доски, компьютера, принтера и стола соответственно через $d$, $c$, $p$ и $s$. По условию:$$p>c>d,\quad s>d$$

Так как $p>c$ и $c>d$, то принтер дороже доски. Утверждение 2 верно.$$p>d$$

Так как Маша старше Кати на два года, Катя младше Маши.

Так как Маша младше Алисы на один год, Алиса старше Маши.

По условию каждый сотрудник, отдыхавший в Сочи, не отдыхал в Крыму. Следовательно, один сотрудник не мог отдыхать одновременно в обоих местах.$$Сочи \cap Крым = \varnothing$$

Утверждение 1 верно, так как оно непосредственно следует из условия.

Зелёных шариков было $15 - 8 = 7$. Рисунки нанесены только на 3 шарика, поэтому как минимум $7 - 3 = 4$ зелёных шарика остались без рисунков. Следовательно, утверждение 1 верно.$$7 - 3 = 4 \geq 2$$

Всего рисунков 3, поэтому жёлтых шариков с рисунками не может быть 5. Утверждение 2 верно.$$n_{\text{жёлтых с рисунками}} \leq 3 < 5$$

По условию, для любого сотрудника верно: если он не отдыхал на море, то он отдыхал на даче. Следовательно, сотрудник не может не отдыхать ни на даче, ни на море.

Значит, каждый сотрудник отдыхал хотя бы на одном из двух мест: на даче или на море. Утверждение 1 верно.

Обозначим количества медалей сборных России, Канады, Германии и Норвегии соответственно через $R$, $K$, $G$ и $N$.

По условию имеем неравенства:$$R>K>G,\quad K>N$$

Так как 83 — самый высокий полученный балл, среди выпускников обязательно есть человек, набравший 83 балла. Утверждение 1 верно.

Из условия следует, что самый низкий балл равен 28. Поэтому все двадцать баллов не меньше 28, а значит, не меньше 27. Утверждение 4 верно.$$28 \ge 27$$

Пусть $x$ — число студентов, сдавших оба зачёта. Тогда число студентов, сдавших хотя бы один зачёт, равно:$$25 + 25 - x = 50 - x$$

Так как всего в группе 40 студентов, получаем:$$50 - x \leq 40,\quad x \geq 10$$