Решение: Посыпка кексов
Повар испёк для вечеринки 45 кексов, из них 15 кексов он посыпал кокосовой стружкой, а 25 кексов посыпал сахарной пудрой. Повар может посыпать один кекс и кокосовой стружкой, и сахарной пудрой, а может вообще ничем не посыпать. Выберите все утверждения, которые верны при указанных условиях.
Решение по шагам
5 шаговПусть $A$ — множество кексов с кокосовой стружкой, а $B$ — множество кексов с сахарной пудрой. Тогда $|A|=15$, $|B|=25$, всего 45 кексов.
$$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$$Число кексов с обеими посыпками не может превышать число кексов с кокосовой стружкой: $|A \cap B| \leq 15$. Поэтому 16 таких кексов быть не может.
$$|A \cap B| \leq \min(15,25)=15$$Число кексов, посыпанных хотя бы чем-то, равно $40-|A\cap B|$. При пересечении от 0 до 15 число непосыпанных кексов равно $45-(40-|A\cap B|)=5+|A\cap B|$, то есть от 5 до 20. Поэтому ровно 4 непосыпанных кекса быть не может.
$$45-|A\cup B|=45-(15+25-|A\cap B|)=5+|A\cap B|$$Максимально возможное число кексов с обеими посыпками равно 15, поэтому оно точно не превышает 20.
$$|A\cap B|\leq 15<20$$Утверждение 4 неверно: возможна ситуация, когда часть кексов посыпана сахарной пудрой, но не посыпана кокосовой стружкой.
По данным условиям верно только утверждение 3, поэтому проверенный ответ «23» противоречит условию.
Где здесь ошибаются
Неверно считать, что число непосыпанных кексов всегда равно $45-15-25=5$, не учитывая пересечение множеств.
Путать максимальное и минимальное возможное число кексов с обеими посыпками.
Считать, что наличие сахарной пудры автоматически означает наличие кокосовой стружки.