Решение: Зачёты по двум предметам
В группе учится 30 студентов, из них 20 человек сдали зачёт по экономике и 20 сдали зачёт по английскому языку. Определите, какие утверждения верны при указанных условиях.
Решение по шагам
4 шагаПусть $x$ — число студентов, сдавших оба зачёта. Так как всего в группе 30 студентов, по принципу включения-исключения число студентов, сдавших хотя бы один зачёт, равно $20 + 20 - x = 40 - x$ и не может превышать 30.
$$40 - x \leq 30 \Rightarrow x \geq 10$$Число студентов, сдавших оба зачёта, не может быть больше числа сдавших каждый из зачётов.
$$x \leq \min(20,20)=20$$Следовательно, $10 \leq x \leq 20$. Утверждение 2 верно, поскольку хотя бы 10 студентов сдали оба зачёта. Утверждение 3 также верно, поскольку таких студентов не больше 20.
Число студентов, не сдавших ни одного зачёта, равно $30-(40-x)=x-10$ и может быть не больше 10, поэтому утверждение 1 неверно. Число студентов, сдавших экономику, но не сдавших английский язык, равно $20-x$ и может быть не больше 10, поэтому утверждение 4 неверно.
Где здесь ошибаются
Забывают учесть пересечение множеств при подсчёте числа студентов, сдавших хотя бы один зачёт.
Путают минимальное и максимальное возможное число студентов, сдавших оба зачёта.
Считают, что из равенства 20 + 20 = 40 следует наличие 40 студентов, хотя часть студентов могла сдать оба зачёта.