Базовая математика ЕГЭ — решения заданий ФИПИ с ответами

По условию все сотрудники, отдыхавшие в Сочи, не отдыхали в Крыму. Следовательно, сотрудников, отдыхавших одновременно и в Крыму, и в Сочи, нет.

Указано, что некоторые сотрудники отдыхали в Крыму. Такие сотрудники не отдыхали в Сочи, поэтому среди сотрудников, не отдыхавших в Сочи, есть хотя бы один отдыхавший в Крыму.

По условию, все сотрудники, отдыхавшие в Сочи, не отдыхали в Крыму. Значит, сотрудник не может отдыхать одновременно в обоих местах.$$S \cap K = \varnothing$$

Так как некоторые сотрудники отдыхали в Крыму, существует хотя бы один сотрудник, который отдыхал в Крыму и не отдыхал в Сочи. Поэтому утверждение 3 верно.

Обозначим через $x$ число людей, пользующихся обеими социальными сетями.

Число людей, пользующихся хотя бы одной сетью, равно $25 + 20 - x = 45 - x$. Оно не может превышать общее число людей в компании:$$45 - x \leq 42$$

По условию некоторые жители, которые учатся, ещё и работают. Значит, хотя бы один работающий житель учится.

Так как существует хотя бы один работающий житель, утверждение о наличии работающих жителей также верно.

Пусть $A$ — множество участников кружка по истории, а $B$ — множество участников кружка по математике. Минимальное число общих участников определяется формулой включений-исключений.$$|A \cap B| \geq |A| + |B| - 20$$

Подставим данные задачи: общих участников должно быть не менее трёх.$$|A \cap B| \geq 13 + 10 - 20 = 3$$

Обозначим через $A$ множество учащихся, которые ходили на спектакль «Гроза», а через $B$ — множество учащихся, которые пойдут на постановку по пьесе «Бесприданница».

По условию среди посетителей «Бесприданницы» не будет тех, кто ходил на «Грозу». Значит, множества не пересекаются: $A \cap B = \varnothing$.

Обозначим стоимости стеллажа, стола, проектора и ксерокса через $s$, $t$, $p$ и $k$ соответственно.$$s>t,\quad k<t,\quad k<p$$

Из неравенств $s>t$ и $t>k$ следует, что стеллаж дороже ксерокса.$$s>t>k\Rightarrow s>k$$

Из условия следует, что среди дачников есть люди, выращивающие виноград. Поэтому утверждение 2 верно.

Также сказано, что некоторые дачники, выращивающие виноград, выращивают и груши. Значит, существует хотя бы один дачник, выращивающий обе культуры, поэтому утверждение 3 верно.

Выбираем учеников, набравших меньше 65 баллов по математике: это ученики 1, 3, 5 и 7.

Ученик 1 получил грамоту, так как по биологии набрал 84 балла. Ученик 3 получил грамоту, так как по биологии набрал 65 баллов.

Обозначим стоимости покупок: сок — $С$, мороженое — $М$, грибы — $Г$, рыба — $Р$. Из условия получаем $Г < М < Р$ и $С < М$.

Так как $С < М$ и $М < Р$, то $С < Р$. Следовательно, утверждение 1 верно.

Рассмотрим исходное условие. Для любого сотрудника фирмы верно: если он не отдыхал на море, то он отдыхал на даче.$$\neg M \Rightarrow D$$

Утверждение 1 верно. Если сотрудник отдыхал на море, условие выполнено. Если он не отдыхал на море, то по условию он отдыхал на даче. Возможен также отдых и на море, и на даче.$$M \lor D$$

Пусть высоты рябины, ясеня и осины равны соответственно $r$, $y$ и $o$. По условию:$$r < y < o$$

Из неравенства $r < y$ следует, что рябина и ясень имеют разную высоту. Из неравенства $y < o$ следует, что ясень и осина имеют разную высоту. Следовательно, все три дерева имеют разную высоту. Утверждение 1 верно.

Обозначим возраст Коли через $x$. Тогда Миша старше Коли на два года, а Лёша старше Миши на один год.$$K=x,\quad M=x+2,\quad L=x+3$$

Следовательно, возраст мальчиков располагается в порядке: Коля, Миша, Лёша. Лёша и Коля не одного возраста, поэтому утверждение 1 неверно.

Максимальное число рогаликов, посыпанных хотя бы одной добавкой, равно сумме чисел посыпанных корицей и сахаром:$$15 + 20 = 35$$

Следовательно, ничем не посыпаны как минимум:$$50 - 35 = 15$$

Из условия следует, что рост любого игрока меньше 190 см. Поэтому утверждение 1 верно.$$h < 190$$

Так как рост каждого игрока больше 170 см, игрока с ростом 169 см в команде быть не может. Поэтому утверждение 2 верно.$$h > 170$$

Пусть $l$ — длина рыбки. По условию для каждой рыбки выполняется $2 < l \leq 8$.

Для любых двух рыбок разность длин не может быть больше разности максимально возможной и минимальной границ: $8 - 2 = 6$ см. Первое утверждение верно.$$8 - 2 = 6$$

По условию среди детей, которые днём пойдут в бассейн, нет ни одного ребёнка, ходившего утром на речку.

Значит, каждый ребёнок, ходивший утром на речку, точно не пойдёт плавать в бассейн. Поэтому утверждение 4 верно.

Из условия следует, что в посёлке есть дачники, выращивающие виноград. Поэтому утверждение 2 верно.

Также сказано, что некоторые дачники, выращивающие виноград, выращивают и груши. Значит, существует хотя бы один дачник, выращивающий обе культуры, поэтому утверждение 3 верно.

Пусть событие «кошка идёт по забору» обозначено как A, а событие «Жучка лает» — как B. Условие задачи имеет вид: если A, то B.$$A \Rightarrow B$$

Контрапозиция этого утверждения верна: если Жучка не лает, то кошка по забору не идёт. Поэтому утверждение 2 верно.

Обозначим цены покупок: манго — $m$, торт — $t$, лимонад — $l$, мясная нарезка — $n$.

По условию торт дороже манго, но дешевле мясной нарезки, а лимонад дешевле торта:$$m < t < n,\quad l < t$$