Базовая математика ЕГЭ — решения заданий ФИПИ с ответами

Маша старше Алисы, поэтому Алиса младше Маши.

Маша младше Кати на два года, поэтому Маша младше Кати.

Наибольший полученный балл равен 75. Следовательно, среди выпускников есть человек, получивший 75 баллов.

Утверждение 2 не следует из условия: сказано только, что выпускников двадцать, но не сказано, что у всех одинаковые баллы.

По условию, если в доме больше 5 этажей, то в нём установлен лифт.

Рассмотрим утверждение 1. Если лифта нет, то этажей не больше 5, поэтому утверждение о том, что этажей больше 6, неверно.

Пусть $A$ — множество кексов, посыпанных кокосовой стружкой, а $B$ — множество кексов, посыпанных сахарной пудрой. Тогда $|A|=15$, $|B|=20$.

Число кексов, посыпанных и кокосовой стружкой, и сахарной пудрой, не может быть больше числа кексов с кокосовой стружкой: $|A \cap B| \leq |A|=15$. Поэтому утверждение 3 верно, а утверждение 1 неверно.

Из условия «Оля младше Алисы, но старше Иры» получаем порядок возраста:$$\text{Ира} < \text{Оля} < \text{Алиса}$$

Следовательно, Алиса старше Иры. Утверждение 3 верно.

Пусть $x$ — число студентов, сдавших оба зачёта. Минимальное число таких студентов определяется принципом включения и исключения:$$x \ge 25 + 25 - 40 = 10$$

Максимально оба зачёта могли сдать 25 студентов, поэтому:$$10 \le x \le 25$$

Условие означает: если Иван Петрович ведёт урок, то его телефон выключен.$$Урок \Rightarrow телефон выключен$$

По закону contraposition: если телефон включён, то Иван Петрович не ведёт урок. Поэтому утверждение 1 верно.$$телефон включён \Rightarrow \text{не урок}$$

Обозначим число учащихся, посещающих оба кружка, через $x$. По принципу включения и исключения:$$20 + 16 - x \leq 30$$

Отсюда получаем минимальное возможное значение числа учащихся, посещающих оба кружка:$$x \geq 20 + 16 - 30 = 6$$

Обозначим высоту ели через $h$ метров. Тогда высота сосны равна $h+1$ метру.

Сосна ниже дуба на 2 метра, значит высота дуба равна $(h+1)+2=h+3$ метрам.

Обозначим высоту дома через $h$. По условию выполняется неравенство:$$9 \leqslant h < 30$$

Утверждение 1 неверно: высота 30 метров запрещена условием $h < 30$.

Обозначим стоимости проектора, стеллажа и стола через $P$, $S$ и $T$. По условию $P < S$ и $S < T$.$$P < S < T$$

Из цепочки неравенств следует, что проектор дешевле стола. Утверждение 1 верно.$$P < T$$

Обозначим высоту клёна через $h$ метров. Тогда высота берёзы равна $h+1$ метр, а высота дуба на 3 метра больше высоты берёзы: $h+4$ метра.$$h < h+1 < h+4$$

Высоты всех трёх деревьев различны, поэтому утверждение 1 верно.

По условию, если сумма баллов достигает установленного лимита, владелец получает постоянную скидку.

Следовательно, наличие постоянной скидки означает, что лимит был достигнут. Утверждение 1 верно.

Из условия получаем: Виктор старше Дениса, а Егор старше Виктора.$$Денис < Виктор < Егор$$

Следовательно, Егор старше Дениса и Виктора. Кроме того, Андрей не старше Виктора, поэтому Егор также старше Андрея. Егор — самый старший из четырёх человек.

Условие задачи непосредственно утверждает: если в доме больше 12 этажей, то в нём установлены электрические плиты.$$n > 12 \Rightarrow \text{электрические плиты}$$

Следовательно, утверждение 3 является верным.

Условие означает: если в доме больше 6 этажей, то в нём установлен лифт.$$n > 6 \Rightarrow \text{лифт есть}$$

Рассмотрим утверждение 1. Противоположное к условию утверждение верно: если лифта нет, то этажей не больше 6, то есть меньше 7.$$\text{лифта нет} \Rightarrow n \leq 6 \Rightarrow n < 7$$

Выбираем учащихся, набравших меньше 70 баллов по физике: это ученики 2, 3, 5 и 7.$$67<70,\ 56<70,\ 43<70,\ 53<70$$

Проверяем получение грамоты. У ученика 2 сумма баллов больше 130:$$67+64=131>130$$

Находим учеников, набравших по физике меньше 60 баллов: это ученики 3, 7 и 8.

Ученик 3 получает грамоту, так как по химии набрал 100 баллов, то есть хотя бы по одному предмету набрано не меньше 60 баллов.

Обозначим через $A$ множество сотрудников, знающих английский язык, а через $B$ — множество сотрудников, знающих китайский язык.

Минимальное число сотрудников, знающих оба языка, равно $40 + 30 - 60 = 10$. Следовательно, таких сотрудников всегда хотя бы пять, поэтому утверждение 1 верно.$$|A \cap B| \geq 40 + 30 - 60 = 10$$

Обозначим через $A$ множество учеников, посещающих кружок по физике, а через $B$ — множество учеников, посещающих кружок по программированию. Число учеников, посещающих оба кружка, обозначим $x$.$$|A|=17,\quad |B|=12,\quad |A\cup B|\leq 25$$

Минимально возможное число учеников, посещающих оба кружка, определяется включением всех 25 учеников в объединение кружков:$$x\geq 17+12-25=4$$