ФИПИ тапсырмаларының шешімдері ЕГЭ по базалық математикаға: «Стереометрия» — жауаптарымен

Уровень воды в сосуде

Вода в сосуде, имеющем форму правильной четырёхугольной призмы, находится на уровне $h = 120$ см. На каком уровне окажется вода, если её перелить в другой сосуд, имеющий форму правильной…

1. 1
   Объём воды при переливании не изменяется. Основание сосуда имеет форму квадрата.
2. 2
   Сторона основания нового сосуда вдвое больше, поэтому площадь основания увеличивается в $2^2 = 4$ раза.$$S_2 = 4S_1$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Объём треугольной пирамиды

В основании пирамиды $SABC$ лежит правильный треугольник $ABC$ со стороной 4, а боковое ребро $SA$ перпендикулярно основанию и равно $3\sqrt{3}$. Найдите объём пирамиды $SABC$.

1. 1
   Так как $SA$ перпендикулярно плоскости основания, отрезок $SA$ является высотой пирамиды.$$h = SA = 3\sqrt{3}$$
2. 2
   Основание — правильный треугольник со стороной 4. Его площадь равна:$$S_{\text{осн}} = \frac{4^2\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Объём прямой призмы

В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, катеты которого равны 13 и 4. Найдите объём призмы, если её высота равна 5.

1. 1
   Основание призмы — прямоугольный треугольник с катетами 13 и 4. Найдём его площадь.$$S_{\text{осн}} = \dfrac{13 \cdot 4}{2} = 26$$
2. 2
   Объём прямой призмы равен произведению площади основания на высоту.$$V = S_{\text{осн}}h = 26 \cdot 5 = 130$$

Масса шара по диаметру

Однородный шар диаметром 5 см весит 250 граммов. Сколько граммов весит шар диаметром 7 см, изготовленный из того же материала?

1. 1
   Шары изготовлены из бір и того же материала, поэтому их массы относятся как объёмы.$$\dfrac{m_2}{m_1}=\dfrac{V_2}{V_1}$$
2. 2
   Объём шара пропорционален кубу диаметра, поэтому$$\dfrac{m_2}{250}=\left(\dfrac{7}{5}\right)^3$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Объём прямоугольных призм

Даны две коробки, имеющие форму правильной четырёхугольной призмы, стоящей на основании. Первая коробка в четыре с половиной раза ниже второй, а вторая втрое уже первой. Во сколько раз объём первой…

1. 1
   Пусть сторона квадратного основания первой коробки равна $a$, а второй — $\dfrac{a}{3}$. Тогда отношение площадей оснований:$$\frac{S_1}{S_2}=\frac{a^2}{(a/3)^2}=9$$
2. 2
   Первая коробка в $4{,}5$ раза ниже второй, поэтому отношение высот равно:$$\frac{h_1}{h_2}=\frac{1}{4{,}5}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Уровень воды в цилиндре

Вода в сосуде цилиндрической формы находится на уровне $h = 80$ см. На каком уровне окажется вода, если её перелить в другой цилиндрический сосуд, у которого радиус основания в два раза больше, чем…

1. 1
   Объём воды при переливании сохраняется. Объём цилиндра вычисляется по формуле:$$V = \pi r^2 h$$
2. 2
   Пусть радиус первого сосуда равен $r$, а высота воды в нём — $80$ см. Радиус второго сосуда равен $2r$.

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Объём жидкости в конусе

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\dfrac{1}{4}$ высоты. Объём жидкости равен 80 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы наполнить сосуд доверху?

1. 1
   Жидкость занимает малый конус, подобный полному конусу. Все его линейные размеры в $4$ раза меньше, поэтому объём в $4^3=64$ раза меньше.$$V_{\text{жидкости}}=\dfrac{1}{64}V_{\text{сосуда}}$$
2. 2
   Найдём объём всего сосуда:$$V_{\text{сосуда}}=80\cdot64=5120\ \text{мл}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Площадь двускатной крыши

Двускатную крышу дома, имеющего в основании прямоугольник (см. рис.), необходимо полностью покрыть рубероидом. Высота крыши равна 4 м, длины стен дома равны 6 м и 8 м. Найдите, сколько рубероида (в…

1. 1
   Рассмотрим поперечное сечение крыши. Половина ширины дома равна $6 : 2 = 3$ м. Длина ската находится по теореме Пифагора:$$l = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\ \text{м}$$
2. 2
   Каждый скат является прямоугольником со сторонами $8$ м и $5$ м. Площадь двух скатов:$$S = 2 \cdot 8 \cdot 5 = 80\ \text{м}^2$$

Площадь поверхности многогранника

Деталь имеет форму изображённого на рисунке многогранника (все двугранные углы прямые). Числа на рисунке обозначают длины рёбер (в сантиметрах). Найдите площадь поверхности этой детали. Ответ дайте…

1. 1
   Разобьём деталь на нижний прямоугольный параллелепипед с размерами $5$, $2$, $1$ и верхний прямоугольный параллелепипед с размерами $2$, $2$, $2$.
2. 2
   Площадь поверхности нижнего параллелепипеда равна:$$S_1=2(5\cdot2+5\cdot1+2\cdot1)=34$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Объём погружённой детали

В бак, имеющий форму цилиндра, налито 5 л воды. После полного погружения в воду детали уровень воды в баке увеличился в 1,6 раза. Найдите объём детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах, зная…

1. 1
   После погружения детали объём, занимаемый водой вместе с деталью, увеличился в 1,6 раза. Поэтому объём детали составляет 0,6 начального объёма воды.$$V_\text{дет}=(1{,}6-1)\cdot 5=3\ \text{л}$$
2. 2
   Переведём объём детали в кубические сантиметры.$$3\cdot 1000=3000\ \text{см}^3$$

Объём детали в баке

В бак, имеющий форму цилиндра, налито 10 л воды. После полного погружения в воду детали уровень воды в баке увеличился в 1,4 раза. Найдите объём детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах, зная…

1. 1
   После погружения детали объём воды вместе с деталью стал равен:$$10 \cdot 1{,}4 = 14\ \text{л}$$
2. 2
   Объём детали равен разности нового и первоначального объёмов:$$14 - 10 = 4\ \text{л}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Площадь сечения цилиндра

Радиус основания цилиндра равен 26, а его образующая равна 9. Сечение, параллельное оси цилиндра, расположено от неё на расстоянии, равном 24. Найдите площадь этого сечения.

1. 1
   Сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси, является прямоугольником. Его высота равна образующей цилиндра, то есть 9.$$h=9$$
2. 2
   Половина ширины сечения находится по теореме Пифагора.$$\frac{a}{2}=\sqrt{26^2-24^2}=\sqrt{100}=10$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Переливание воды в призму

Вода в сосуде, имеющем форму правильной четырёхугольной призмы, находится на уровне $h = 90$ см. На каком уровне окажется вода, если её перелить в другой сосуд, имеющий форму правильной…

1. 1
   Объём воды в призме равен произведению площади основания на высоту.$$V = S h$$
2. 2
   Сторона квадратного основания нового сосуда в 3 раза больше, поэтому площадь его основания в $3^2 = 9$ раз больше.$$S_2 = 9S_1$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Объём прямоугольной призмы

Даны две коробки, имеющие форму правильной четырёхугольной призмы, стоящей на основании. Первая коробка вдвое выше второй, а вторая в четыре раза шире первой. Во сколько раз объём второй коробки…

1. 1
   Пусть сторона основания первой коробки равна $a$, а её высота — $h$. Тогда сторона основания второй коробки равна $4a$, а её высота — $h/2$.$$a_2=4a,\quad h_2=\frac{h}{2}$$
2. 2
   Площади квадратных оснований равны $a^2$ и $(4a)^2=16a^2$.$$S_1=a^2,\quad S_2=(4a)^2=16a^2$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Объём конуса по уровню жидкости

В сосуде, имеющем форму конуса с вершиной внизу, уровень жидкости параллелен плоскости основания конуса и достигает $\dfrac{1}{2}$ высоты. Объём жидкости равен 50 мл. Найдите объём сосуда. Ответ…

1. 1
   Жидкость занимает малый конус, подобный исходному. Коэффициент подобия по высоте равен $\dfrac{1}{2}$.$$k = \dfrac{1}{2}$$
2. 2
   Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия.$$\dfrac{V_{\text{жидкости}}}{V_{\text{сосуда}}} = k^3 = \left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = \dfrac{1}{8}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Площадь поверхности кубического ящика

Ящик, имеющий форму куба с ребром 10 см без одной грани, нужно покрасить со всех сторон снаружи. Найдите площадь поверхности, которую необходимо покрасить. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

1. 1
   У куба алты граней, но одна грань отсутствует, поэтому покрасить нужно пять граней.
2. 2
   Площадь одной грани куба с ребром 10 см равна:$$S_1 = 10^2 = 100\ \text{см}^2$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Объём вытесненной жидкости

В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы со стороной основания 60 см, налита жидкость. Чтобы измерить объём детали сложной формы, её полностью погружают в эту жидкость. Найдите объём…

1. 1
   Так как деталь полностью погружена в жидкость, её объём равен объёму жидкости, вытесненной при подъёме уровня.$$V_{\text{детали}} = S_{\text{осн}} h$$
2. 2
   Основание бака — квадрат со стороной 60 см, поэтому его площадь равна:$$S_{\text{осн}} = 60^2 = 3600\ \text{см}^2$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Объём ступенчатой детали

Деталь имеет форму изображённого на рисунке многогранника (все двугранные углы прямые). Числа на рисунке обозначают длины рёбер в сантиметрах. Найдите объём этой детали. Ответ дайте в кубических…

1. 1
   Разобьём деталь на нижний и верхний прямоугольные параллелепипеды.
2. 2
   Объём нижней части равен:$$V_1 = 3 \cdot 3 \cdot 2 = 18$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Масса шара по диаметру

Однородный шар диаметром 2 см весит 48 граммов. Сколько граммов весит шар диаметром 3 см, изготовленный из того же материала?

1. 1
   Шары изготовлены из одного материала, поэтому их массы пропорциональны объёмам. Объём шара пропорционален кубу диаметра.$$m \sim d^3$$
2. 2
   Составим отношение масс шаров.$$m_2 = 48\left(\frac{3}{2}\right)^3 = 48 \cdot \frac{27}{8} = 162$$

Площадь боковой поверхности пирамиды

Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 16, боковое ребро равно 17. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

1. 1
   Каждая боковая грань является равнобедренным треугольником со сторонами 17, 17 и 16. Высота грани делит основание 16 пополам.$$h = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = 15$$
2. 2
   Площадь одной боковой грани равна:$$S_1 = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 15 = 120$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде