ФИПИ тапсырмаларының шешімдері ЕГЭ по базалық математикаға: «Планиметрия» — жауаптарымен

Угол в трапеции

В трапеции $ABCD$ известно, что $AB = CD$, $\angle BDA = 40^\circ$ и $\angle BDC = 30^\circ$. Найдите величину угла $ABD$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Так как в трапеции боковые стороны равны: $AB = CD$, трапеция является равнобедренной.
2. 2
   Угол при вершине $D$ разделён диагональю $DB$ на углы $BDA$ и $BDC$, поэтому$$\angle CDA = \angle BDA + \angle BDC = 40^\circ + 30^\circ = 70^\circ$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Средняя желі треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ медиана $BK = 10$, боковая сторона $BC = 26$. Найдите длину отрезка $MN$, если известно, что он соединяет середины боковых сторон.

1. 1
   В равнобедренном треугольнике медиана $BK$ к основанию $AC$ является также высотой, поэтому треугольник $BKC$ прямоугольный.$$BK \perp AC$$
2. 2
   По теореме Пифагора найдём половину основания:$$KC = \sqrt{BC^2 - BK^2} = \sqrt{26^2 - 10^2} = \sqrt{576} = 24$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Площадь трапеции по основанию

Основания трапеции равны 9 и 19, боковая сторона, равная 8, образует с одним из оснований трапеции угол $150^\circ$. Найдите площадь трапеции.

1. 1
   Высота трапеции является перпендикулярной составляющей боковой стороны.$$h = 8\sin 150^\circ = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$$
2. 2
   Вычислим площадь трапеции по формуле через основания и высоту.$$S = \frac{9+19}{2}\cdot 4 = 14\cdot 4 = 56$$

Синус угла в окружности

На окружности радиуса 11 отмечена точка $C$. Отрезок $AB$ — диаметр окружности, $AC = 11$. Найдите $\sin \angle ABC$.

1. 1
   Так как $AB$ — диаметр окружности, угол $ACB$ прямой по теореме Фалеса.$$\angle ACB = 90^\circ$$
2. 2
   Диаметр окружности в два раза больше радиуса.$$AB = 2 \cdot 11 = 22$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Площадь треугольника по медиане

В треугольнике $ABC$ проведена медиана $BM$, на стороне $AB$ взята точка $K$ так, что $AK = \dfrac{1}{4}AB$. Площадь треугольника $AMK$ равна 4. Найдите площадь треугольника $ABC$.

1. 1
   Треугольники $AMK$ и $ABC$ имеют общий угол $A$. Поэтому отношение их площадей равно отношению произведений двух сторон, заключающих этот угол.$$\dfrac{S_{AMK}}{S_{ABC}} = \dfrac{AK \cdot AM}{AB \cdot AC}$$
2. 2
   Точка $M$ — середина стороны $AC$, так как $BM$ — медиана. Следовательно, $AM = \dfrac{1}{2}AC$, а $AK = \dfrac{1}{4}AB$.$$\dfrac{S_{AMK}}{S_{ABC}} = \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{8}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Площадь трапеции по углу

Основания трапеции равны 7 и 15, боковая сторона, равная 12, образует с одним из оснований трапеции угол $150^\circ$. Найдите площадь трапеции.

1. 1
   Высота трапеции — это перпендикулярная составляющая боковой стороны.$$h=12\sin150^\circ=12\cdot\frac{1}{2}=6$$
2. 2
   Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту.$$S=\frac{7+15}{2}\cdot6=11\cdot6=66$$

Средняя желі треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ медиана $BK = 8$, боковая сторона $BC = 17$. Найдите длину отрезка $MN$, если известно, что он соединяет середины боковых сторон.

1. 1
   Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, медиана $BK$ к основанию $AC$ является также высотой. Поэтому треугольник $BKC$ прямоугольный.$$KC = \sqrt{BC^2 - BK^2}$$
2. 2
   Найдём половину основания:$$KC = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = 15$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Гипотенуза по внешнему углу

В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $150^\circ$. Катет $BC = 20$. Найдите гипотенузу $AB$.

1. 1
   Внутренний угол при вершине $A$ и внешний угол образуют развернутый угол.$$\angle A = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
2. 2
   Катет $BC$ лежит напротив угла $A$, поэтому применяем определение синуса.$$\sin 30^\circ = \frac{BC}{AB} = \frac{20}{AB}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Косинус угла равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ боковые стороны $AB = BC = 10$, медиана $BM = \sqrt{51}$. Найдите $\cos \angle BAC$.

1. 1
   В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является также высотой, поэтому треугольник $ABM$ прямоугольный.$$AM \perp BM$$
2. 2
   По теореме Пифагора найдём длину $AM$:$$AM = \sqrt{AB^2 - BM^2} = \sqrt{10^2 - (\sqrt{51})^2} = \sqrt{49} = 7$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Диагональ параллелограмма

В параллелограмме $ABCD$ диагонали перпендикулярны. Сумма углов $A$ и $C$ равна $120^\circ$, $AB = 39$. Найдите $BD$.

1. 1
   В параллелограмме противоположные углы равны, поэтому $\angle A = \angle C = 60^\circ$.
2. 2
   Параллелограмм с перпендикулярными диагоналями является ромбом. Диагонали ромба делятся точкой пересечения пополам и перпендикулярны.

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Боковая сторона треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ угол $ABC$ равен $120^\circ$. Высота $BK$, проведённая к основанию, равна $25$. Найдите боковую сторону $AB$.

1. 1
   В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является биссектрисой угла при вершине.$$\angle ABK = \dfrac{120^\circ}{2} = 60^\circ$$
2. 2
   Треугольник $ABK$ прямоугольный, поэтому выразим гипотенузу $AB$ через прилежащий катет $BK$.$$\cos 60^\circ = \dfrac{BK}{AB}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Площадь равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ боковая сторона $AB = 50$, $\sin A = \dfrac{7}{25}$. Найдите площадь треугольника $ABC$.

1. 1
   Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, его боковые стороны равны: $AB = BC = 50$. Углы при основании равны, поэтому $B = 180^\circ - 2A$ и $\sin B = \sin 2A$.$$S = \dfrac{1}{2}AB \cdot BC \cdot \sin B$$
2. 2
   По условию $\sin A = \dfrac{7}{25}$. Так как угол $A$ острый, $\cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \dfrac{24}{25}$.$$\cos A = \sqrt{1 - \left(\dfrac{7}{25}\right)^2} = \dfrac{24}{25}$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Длина отрезка AH

В треугольнике $ABC$ сторона $AC = 96$, $BM$ — медиана, $BH$ — высота, $BC = BM$. Найдите длину отрезка $AH$.

1. 1
   Так как $BM$ — медиана, точка $M$ является серединой стороны $AC$. Поэтому $AM = MC = 48$.
2. 2
   Обозначим $AH = x$. Поскольку $BH$ — высота, треугольники $BHC$ и $BHM$ прямоугольные. Из условия $BC = BM$ следует равенство их квадратов гипотенуз:$$BC^2 = BM^2$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Угол треугольника с биссектрисой

В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AL$. Угол $ALC$ равен $37^\circ$, угол $ABC$ равен $25^\circ$. Найдите угол $ACB$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Обозначим угол $ACB$ через $x$. Поскольку точки $B$, $L$, $C$ лежат на одной прямой, угол $ACL$ также равен $x$.$$\angle ACL = \angle ACB = x$$
2. 2
   Рассмотрим треугольник $ALC$ и найдём угол $LAC$.$$\angle LAC = 180^\circ - 37^\circ - x = 143^\circ - x$$

Ещё 3 қадам — толық шешімде

Длина проекции катета

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $CH$ — высота, $BC = 10$, $\sin A = 0{,}4$. Найдите длину отрезка $BH$.

1. 1
   По определению синуса угла $A$ в прямоугольном треугольнике:$$\sin A = \frac{BC}{AB}$$
2. 2
   Найдём гипотенузу $AB$:$$AB = \frac{BC}{\sin A} = \frac{10}{0{,}4} = 25$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Угол в выпуклом четырёхугольнике

В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ известно, что $AB = BC$, $AD = CD$, $\angle B = 59^\circ$, $\angle D = 147^\circ$. Найдите угол $A$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Рассмотрим треугольники $ABD$ и $CBD$. У них $AB = BC$, $AD = CD$, а сторона $BD$ общая. Следовательно, треугольники равны по трём сторонам.$$SSS$$
2. 2
   Из равенства треугольников следует равенство противоположных углов четырёхугольника:$$\angle A = \angle C$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Тангенс угла прямоугольника

Площадь прямоугольника $ABCD$ равна 300, сторона $BC = 25$. Найдите тангенс угла $CAD$.

1. 1
   Из формулы площади прямоугольника найдём сторону $AB$:$$AB = \dfrac{S}{BC} = \dfrac{300}{25} = 12$$
2. 2
   В прямоугольном треугольнике $ACD$ катеты равны $AB$ и $AD = BC$. Для угла $CAD$ тангенс равен отношению противолежащего катета к прилежащему:$$\tan \angle CAD = \dfrac{AB}{AD} = \dfrac{12}{25} = 0{,}48$$

Синус угла ромба

В ромбе $ABCD$ диагональ $AC = 4\sqrt{6}$, диагональ $BD = 2$. Найдите синус угла $BAC$.

1. 1
   Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей ромба. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам, поэтому $AO = 2\sqrt{6}$ и $BO = 1$.$$AO=\frac{AC}{2}=2\sqrt{6},\quad BO=\frac{BD}{2}=1$$
2. 2
   В прямоугольном треугольнике $AOB$ найдём сторону ромба $AB$.$$AB=\sqrt{AO^2+BO^2}=\sqrt{(2\sqrt{6})^2+1^2}=\sqrt{25}=5$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Угол в равнобедренной трапеции

В трапеции $ABCD$ известно, что $AB = CD$, $\angle BDA = 30^\circ$ и $\angle BDC = 110^\circ$. Найдите величину угла $ABD$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Так как боковые стороны трапеции равны: $AB = CD$, трапеция является равнобедренной. Поэтому углы при основании $AD$ равны: $\angle BAD = \angle ADC$.
2. 2
   Диагональ $BD$ делит угол $ADC$ на углы $BDA$ и $BDC$, поэтому$$\angle ADC = \angle BDA + \angle BDC = 30^\circ + 110^\circ = 140^\circ$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Боковая сторона треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ угол $ABC$ равен $120^\circ$. Высота $BK$, проведённая к основанию, равна 60. Найдите боковую сторону $AB$.

1. 1
   В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также биссектрисой угла при вершине.$$\angle ABK = \dfrac{120^\circ}{2} = 60^\circ$$
2. 2
   Треугольник $ABK$ прямоугольный, поэтому его второй острый угол равен $30^\circ$.$$\angle BAK = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде