Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Планиметрия» — с ответами

Диагональ прямоугольника

Площадь прямоугольника равна 60, а одна из сторон равна 5. Найдите длину диагонали этого прямоугольника.

1. 1
   Найдём вторую сторону прямоугольника по его площади:$$b=\dfrac{60}{5}=12$$
2. 2
   Диагональ является гипотенузой прямоугольного треугольника со сторонами 5 и 12. По теореме Пифагора:$$d=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$$

Гипотенуза прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $150^\circ$. Катет $BC = 48$. Найдите гипотенузу $AB$.

1. 1
   Внутренний угол при вершине $A$ и внешний угол образуют развернутый угол:$$A = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
2. 2
   Катет $BC$ лежит напротив угла $A$, а $AB$ — гипотенуза. Поэтому:$$\sin A = \frac{BC}{AB}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Синус угла в треугольнике

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = 10$, $AC = \sqrt{91}$. Найдите $\sin A$.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. Найдём катет $BC$ по теореме Пифагора.$$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{10^2 - (\sqrt{91})^2} = \sqrt{100 - 91} = 3$$
2. 2
   Синус угла $A$ равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.$$\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{3}{10} = 0.3$$

Площадь ромба по углу

Ромб и квадрат имеют равные стороны. Найдите площадь ромба, если его острый угол равен $30^\circ$, а площадь квадрата равна $16$.

1. 1
   Площадь квадрата равна $16$, поэтому его сторона равна $4$. Сторона ромба также равна $4$.$$a = \sqrt{16} = 4$$
2. 2
   Площадь ромба равна произведению квадратов стороны на синус острого угла.$$S = a^2\sin\alpha = 4^2\sin 30^\circ = 16 \cdot \frac{1}{2} = 8$$

Боковая сторона треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ внешний угол при основании равен $150^\circ$, а медиана $BM$, проведённая к основанию, равна $63$. Найдите боковую сторону треугольника $ABC$.

1. 1
   Внутренний угол при основании является смежным с внешним углом.$$\angle A = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
2. 2
   В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также высотой. Поэтому треугольник $ABM$ прямоугольный.

Ещё 2 шага — в полном решении

Гипотенуза прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $120^\circ$. Катет $AC = 42$. Найдите гипотенузу $AB$.

1. 1
   Внутренний угол при вершине $A$ и внешний угол образуют развёрнутый угол:$$A = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$
2. 2
   Для угла $A$ катет $AC$ является прилежащим, а $AB$ — гипотенузой:$$\cos A = \frac{AC}{AB}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол равнобедренного треугольника

В треугольнике $ABC$ стороны $AC$ и $BC$ равны. Внешний угол при вершине $B$ равен $125^\circ$. Найдите угол $C$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Внутренний и внешний углы при вершине $B$ — смежные, поэтому их сумма равна $180^\circ$.$$\angle B = 180^\circ - 125^\circ = 55^\circ$$
2. 2
   Так как $AC = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный, и углы при основании равны: $\angle A = \angle B = 55^\circ$.$$\angle A = 55^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Косинус угла в треугольнике

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = 25$, $AC = 24$. Найдите $\cos B$.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. Найдём катет $BC$ по теореме Пифагора.$$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{25^2 - 24^2} = \sqrt{49} = 7$$
2. 2
   Косинус угла $B$ равен отношению прилежащего катета $BC$ к гипотенузе $AB$.$$\cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{7}{25} = 0{,}28$$

Радиус окружности по хорде

На окружности отмечена точка $C$. Отрезок $AB$ — диаметр окружности, $AC = 7$, $BC = 24$. Найдите радиус окружности.

1. 1
   Так как $AB$ — диаметр окружности, угол $ACB$ прямой.$$\angle ACB = 90^\circ$$
2. 2
   По теореме Пифагора найдём диаметр окружности:$$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{625} = 25$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Катет прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $150^\circ$. Гипотенуза $AB = 29$. Найдите $BC$.

1. 1
   Внутренний угол $A$ и внешний угол при вершине $A$ являются смежными.$$A = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
2. 2
   В прямоугольном треугольнике синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.$$\sin A = \frac{BC}{AB}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол, вписанный в окружность

На окружности по разные стороны от диаметра $AB$ отмечены точки $D$ и $C$. Известно, что $\angle DBA = 11^\circ$. Найдите угол $DCB$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Так как $AB$ — диаметр окружности, вписанный угол $ADB$, опирающийся на диаметр, прямой.$$\angle ADB = 90^\circ$$
2. 2
   В треугольнике $ADB$ найдём угол $DAB$.$$\angle DAB = 180^\circ - 90^\circ - 11^\circ = 79^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Длина катета треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = 26$, $\cos A = \dfrac{12}{13}$. Найдите длину стороны $BC$.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. По определению косинуса:$$\cos A = \dfrac{AC}{AB}$$
2. 2
   Найдём длину катета $AC$:$$AC = AB \cdot \cos A = 26 \cdot \dfrac{12}{13} = 24$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Периметр ромба по диагонали

Сумма двух углов ромба равна $120^\circ$, а его меньшая диагональ равна $14$. Найдите периметр этого ромба.

1. 1
   В ромбе противоположные углы равны. Значит, сумма двух равных углов равна $120^\circ$, и каждый из них равен $60^\circ$.$$120^\circ : 2 = 60^\circ$$
2. 2
   Меньшая диагональ ромба, расположенная напротив угла $60^\circ$, равна стороне ромба: диагональ образует равносторонний треугольник со сторонами ромба.$$a = 14$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол между радиусами окружности

В угол с вершиной $C$, равный $115°$, вписана окружность с центром $O$, которая касается сторон угла в точках $A$ и $B$. Найдите угол $AOB$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Радиусы $OA$ и $OB$ перпендикулярны сторонам угла, поскольку стороны угла являются касательными к окружности.$$\angle OAC = \angle OBC = 90°$$
2. 2
   Рассмотрим четырёхугольник $ACOB$. Сумма его углов равна $360°$.$$\angle AOB = 360° - 90° - 90° - 115°$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Гипотенуза прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $120^\circ$. Катет $AC = 31$. Найдите гипотенузу $AB$.

1. 1
   Внутренний угол при вершине $A$ и внешний угол образуют развернутый угол.$$A = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$
2. 2
   Для угла $A$ катет $AC$ является прилежащим, а $AB$ — гипотенузой.$$\cos 60^\circ = \dfrac{AC}{AB}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Средняя линия трапеции

В прямоугольной трапеции $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$ угол $BAD$ прямой, $AB = 3$, $BC = CD = 5$ см. Найдите среднюю линию трапеции.

1. 1
   Опустим из точки $C$ перпендикуляр к основанию $AD$. Получится прямоугольный треугольник с гипотенузой $CD = 5$ и высотой $AB = 3$.$$x = \sqrt{CD^2 - AB^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$$
2. 2
   Горизонтальная проекция боковой стороны равна разности оснований, поэтому найдём большее основание.$$AD = BC + x = 5 + 4 = 9$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Гипотенуза прямоугольного треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, сторона $BC$ равна 28. Тангенс угла $A$ равен $\dfrac{7}{24}$. Найдите длину стороны $AB$.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, стороны $AC$ и $BC$ являются катетами, а $AB$ — гипотенузой. Запишем тангенс угла $A$:$$\tan A = \dfrac{BC}{AC}$$
2. 2
   Найдём катет $AC$:$$\dfrac{7}{24}=\dfrac{28}{AC},\quad AC=\dfrac{28\cdot24}{7}=96$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь ромба по диагонали

Сторона ромба равна 17, одна из его диагоналей равна 16. Найдите площадь ромба.

1. 1
   Половина известной диагонали ромба равна:$$\frac{16}{2}=8$$
2. 2
   Диагонали ромба перпендикулярны, поэтому по теореме Пифагора находим половину второй диагонали:$$x=\sqrt{17^2-8^2}=\sqrt{289-64}=15$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Тангенс угла диагонали

Площадь прямоугольника $ABCD$ равна 600, сторона $BC = 40$. Найдите тангенс угла $CAD$.

1. 1
   Найдём длину стороны $AD$ по формуле площади прямоугольника:$$AD = \dfrac{600}{40} = 15$$
2. 2
   В прямоугольном треугольнике $ACD$ противолежащий катет для угла $CAD$ — это $CD = 40$, а прилежащий катет — $AD = 15$.$$\tan \angle CAD = \dfrac{CD}{AD} = \dfrac{40}{15} = \dfrac{8}{3}$$

Длина большей дуги

На окружности с центром $O$ отмечены точки $A$ и $B$ так, что $\angle AOB = 39^\circ$. Длина меньшей дуги $AB$ равна 13. Найдите длину большей дуги.

1. 1
   Центральный угол, соответствующий большей дуге, равен разности полного угла и угла меньшей дуги.$$360^\circ - 39^\circ = 321^\circ$$
2. 2
   Длины дуг одной окружности пропорциональны соответствующим центральным углам.$$\frac{x}{13} = \frac{321}{39}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении