Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Планиметрия» — с ответами

Длина хорды BC

На окружности радиусом 3 отмечена точка $C$. Отрезок $AB$ — диаметр окружности, $AC = 4\sqrt{2}$. Найдите длину хорды $BC$.

1. 1
   Диаметр окружности в два раза больше радиуса:$$AB = 2R = 2 \cdot 3 = 6$$
2. 2
   Угол $ACB$ прямой, так как он опирается на диаметр окружности.$$\angle ACB = 90^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение синуса угла

Найдите $\sin \alpha$, если $\cos \alpha = \dfrac{3\sqrt{11}}{10}$ и $270^\circ < \alpha < 360^\circ$.

1. 1
   Так как $270^\circ < \alpha < 360^\circ$, угол находится в четвёртой четверти, поэтому синус отрицателен.$$\sin\alpha < 0$$
2. 2
   По основному тригонометрическому тождеству найдём квадрат синуса.$$\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - \left(\frac{3\sqrt{11}}{10}\right)^2 = 1 - \frac{99}{100} = \frac{1}{100}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Тангенс угла прямоугольника

Площадь прямоугольника $ABCD$ равна $80$, сторона $AB = 6$. Найдите тангенс угла $CAD$.

1. 1
   Площадь прямоугольника равна произведению его сторон. Найдём сторону $AD$:$$AD = \dfrac{80}{6} = \dfrac{40}{3}$$
2. 2
   В прямоугольном треугольнике $ACD$ противолежащий углу $CAD$ катет равен $CD = AB = 6$.$$\tan\angle CAD = \dfrac{CD}{AD}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Боковая сторона трапеции

В прямоугольной трапеции основания равны 2 и 6, а один из углов равен $135^\circ$. Найдите меньшую боковую сторону.

1. 1
   Опустим перпендикуляр из вершины короткого основания к длинному основанию. Горизонтальный катет получившегося прямоугольного треугольника равен разности оснований:$$6 - 2 = 4$$
2. 2
   Угол между наклонной боковой стороной и основанием равен $180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$.

Ещё 2 шага — в полном решении

Тангенс угла прямоугольника

Площадь прямоугольника $ABCD$ равна 270, сторона $BC = 30$. Найдите тангенс угла $CAD$.

1. 1
   Площадь прямоугольника равна произведению его сторон, поэтому найдём сторону $AB$, равную стороне $CD$:$$AB = CD = \dfrac{270}{30} = 9$$
2. 2
   Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACD$. Для угла $CAD$ противолежащий катет — $CD$, а прилежащий — $AD$.$$\tan \angle CAD = \dfrac{CD}{AD} = \dfrac{9}{30} = 0{,}3$$

Площадь прямоугольника по диагонали

В прямоугольнике одна из сторон равна 35, а диагональ равна 37. Найдите площадь этого прямоугольника.

1. 1
   Диагональ и стороны прямоугольника образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора найдём вторую сторону.$$b^2 = 37^2 - 35^2 = 1369 - 1225 = 144$$
2. 2
   Следовательно, вторая сторона прямоугольника равна 12.$$b = \sqrt{144} = 12$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол между радиусами окружности

В угол с вершиной $C$, равный $68^\circ$, вписана окружность с центром $O$, которая касается сторон угла в точках $A$ и $B$. Найдите угол $AOB$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Радиусы $OA$ и $OB$ перпендикулярны сторонам угла, поэтому углы $OAC$ и $OBC$ равны $90^\circ$.$$\angle OAC = \angle OBC = 90^\circ$$
2. 2
   Рассмотрим четырёхугольник $CAOB$. Сумма его внутренних углов равна $360^\circ$.$$\angle AOB = 360^\circ - 68^\circ - 90^\circ - 90^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол, опирающийся на диаметр

На окружности по разные стороны от диаметра $AB$ отмечены точки $D$ и $C$. Известно, что $\angle DBA = 47^\circ$. Найдите угол $DCB$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Вписанный угол $\angle DBA$ равен половине дуги $DA$, на которую он опирается.$$\overset{\frown}{DA}=2\angle DBA=2\cdot47^\circ=94^\circ$$
2. 2
   Так как $AB$ — диаметр, дуга $ADB$ является полуокружностью и равна $180^\circ$.$$\overset{\frown}{DB}=180^\circ-94^\circ=86^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Гипотенуза прямоугольного треугольника

Площадь прямоугольного треугольника равна 84. Один из катетов равен 24. Найдите длину гипотенузы этого треугольника.

1. 1
   По формуле площади прямоугольного треугольника найдём второй катет.$$b = \dfrac{2S}{a} = \dfrac{2 \cdot 84}{24} = 7$$
2. 2
   По теореме Пифагора найдём гипотенузу.$$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{24^2 + 7^2} = \sqrt{625} = 25$$

Тангенс угла ромба

В ромбе $ABCD$ диагональ $AC = 28$, площадь ромба равна 98. Найдите тангенс угла $BAC$.

1. 1
   Используем формулу площади ромба через диагонали.$$S=\dfrac{d_1d_2}{2}$$
2. 2
   Найдём вторую диагональ ромба:$$d_2=\dfrac{2S}{d_1}=\dfrac{2\cdot98}{28}=7$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Синус угла в окружности

На окружности радиусом 14 отмечена точка $C$. Отрезок $AB$ — диаметр окружности, $AC = 7$. Найдите $\sin \angle ABC$.

1. 1
   Так как $AB$ — диаметр окружности, угол $ACB$ прямой по теореме Фалеса.$$\angle ACB = 90^\circ$$
2. 2
   Диаметр окружности равен двум радиусам.$$AB = 2 \cdot 14 = 28$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Вписанный угол и дуга

Найдите величину вписанного угла, опирающегося на дугу, длина которой равна $\dfrac{1}{4}$ длины окружности. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Дуга составляет четверть длины окружности, поэтому соответствующий центральный угол составляет четверть полного угла.$$\alpha = \dfrac{1}{4} \cdot 360^\circ = 90^\circ$$
2. 2
   Вписанный угол, опирающийся на дугу, равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.$$\beta = \dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{90^\circ}{2} = 45^\circ$$

Гипотенуза прямоугольного треугольника

Площадь прямоугольного треугольника равна 336. Один из катетов равен 14. Найдите гипотенузу этого треугольника.

1. 1
   По формуле площади прямоугольного треугольника найдём второй катет:$$b = \dfrac{2S}{a} = \dfrac{2 \cdot 336}{14} = 48$$
2. 2
   По теореме Пифагора найдём гипотенузу:$$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{14^2 + 48^2} = \sqrt{2500} = 50$$

Боковая сторона треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ внешний угол при основании равен $150^\circ$, а медиана $BM$, проведённая к основанию, равна $22$. Найдите боковую сторону треугольника $ABC$.

1. 1
   Внутренний угол при основании supplementary с внешним углом:$$\angle C=180^\circ-150^\circ=30^\circ$$
2. 2
   В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является высотой, поэтому треугольник $BMC$ прямоугольный. Сторона $BM$ лежит напротив угла $C=30^\circ$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Длина большей дуги окружности

На окружности с центром $O$ отмечены точки $A$ и $B$ так, что $\angle AOB = 40^\circ$. Длина меньшей дуги $AB$ равна 50. Найдите длину большей дуги.

1. 1
   Меньшей дуге соответствует центральный угол $40^\circ$, а большей дуге — угол$$360^\circ - 40^\circ = 320^\circ$$
2. 2
   Отношение длины большей дуги к длине меньшей равно отношению соответствующих центральных углов:$$\frac{320}{40}=8$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Боковая сторона треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ медиана $BM$, проведённая к основанию, равна $42$, а $\tg A = \frac{21}{20}$. Найдите длину боковой стороны треугольника $ABC$.

1. 1
   Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, медиана $BM$ к основанию $AC$ является высотой, а точка $M$ — серединой основания. В прямоугольном треугольнике $ABM$:$$\tg A = \frac{BM}{AM}$$
2. 2
   Найдём длину половины основания:$$AM = \frac{BM}{\tg A} = \frac{42}{21/20} = 40$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Тангенс угла в треугольнике

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $BC = 5$. Площадь треугольника равна 25. Найдите $\tg B$.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, стороны $AC$ и $BC$ являются катетами. Найдём катет $AC$ по площади:$$S = \dfrac{1}{2}AC \cdot BC$$
2. 2
   Подставим известные значения:$$25 = \dfrac{1}{2}AC \cdot 5$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Диаметр окружности по хорде

На окружности с центром $O$ и диаметром $AB$ отмечена точка $C$ так, что угол $\angle COB$ равен $120^\circ$, $AC = 30$. Найдите диаметр окружности.

1. 1
   Поскольку $AB$ — диаметр, центральный угол $\angle AOB$ равен $180^\circ$. Поэтому$$\angle AOC = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$
2. 2
   Длина хорды выражается через радиус и центральный угол:$$AC = 2R\sin\frac{\angle AOC}{2}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Биссектриса в параллелограмме

В параллелограмме $ABCD$ проведена биссектриса угла $A$, пересекающая сторону $BC$ в точке $K$. Найдите $KC$, если $AB = 8$, а периметр параллелограмма равен 40.

1. 1
   По формуле периметра параллелограмма найдём сторону $BC$:$$2(AB + BC) = 40$$
2. 2
   Подставим $AB = 8$ и вычислим $BC$:$$BC = 20 - 8 = 12$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Тангенс угла ромба

В ромбе $ABCD$ диагональ $AC = 20$, сторона $AB = \sqrt{101}$. Найдите тангенс угла $BAC$.

1. 1
   Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Поэтому $AO = \dfrac{AC}{2} = 10$.
2. 2
   В прямоугольном треугольнике $AOB$ по теореме Пифагора найдём $BO$:$$BO = \sqrt{AB^2 - AO^2} = \sqrt{101 - 100} = 1$$

Ещё 1 шаг — в полном решении