Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Натуральные числа и делимость» — с ответами

Удаление цифр для делимости

Вычеркните в числе 87451257 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 15. В ответе запишите какое-нибудь одно получившееся число.

1. 1
   Число, делящееся на 15, должно одновременно делиться на 3 и на 5.
2. 2
   Для делимости на 5 последняя цифра должна быть 0 или 5. Выберем последнюю цифру 5.

Ещё 2 шага — в полном решении

Четырёхзначное число кратное 22

Найдите четырёхзначное число, кратное 22, произведение цифр которого равно 60. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Разложим 22 на простые множители: $22 = 2 \cdot 11$. Поэтому искомое число должно делиться и на 2, и на 11.
2. 2
   Рассмотрим число 6512. Произведение его цифр равно требуемому значению:$$6 \cdot 5 \cdot 1 \cdot 2 = 60$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Делимость числа на 12

Вычеркните в числе 75157613 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 12. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Число должно делиться на 12, то есть одновременно делиться на 3 и на 4.
2. 2
   Оставим в исходном числе цифры 7, 5, 1, 5 и 6, вычеркнув последние 7, 1 и 3 из последовательности 75157613.

Ещё 2 шага — в полном решении

Наибольшее число из одинаковых цифр

Найдите наибольшее трёхзначное число, записанное одинаковыми цифрами и делящееся на 37.

1. 1
   Наибольшее трёхзначное число, записанное одинаковыми цифрами, — $999$.$$999 = 37 \cdot 27$$
2. 2
   Число $999$ делится на $37$ без остатка, следовательно, оно удовлетворяет условию.$$999 \div 37 = 27$$

Удаление цифр для делимости

Вычеркните в числе 58918749 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 18. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Число должно делиться на 18, то есть одновременно делиться на 2 и на 9.$$18 = 2 \cdot 9$$
2. 2
   Выберем из исходного числа цифры 5, 8, 9, 1 и 4. Они идут в исходном порядке, поэтому после вычёркивания трёх цифр получится число 58914.

Ещё 2 шага — в полном решении

Поиск трёхзначного числа

Найдите трёхзначное натуральное число, большее 400, которое при делении и на 6, и на 5 даёт равные ненулевые остатки и первая цифра в записи которого является средним арифметическим двух других его…

1. 1
   Ищем число, начинающееся с цифры 4, поскольку оно трёхзначное и больше 400. Для цифр $4$, $b$, $c$ условие среднего арифметического имеет вид:$$4 = \dfrac{b+c}{2},\quad b+c=8$$
2. 2
   Выбираем цифры $b=5$ и $c=3$. Получаем число $453$.

Ещё 2 шага — в полном решении

Четырёхзначное число и его удвоение

Четырёхзначное число $A$ состоит из цифр 2, 4, 7, 9, а четырёхзначное число $B$ — из цифр 4, 5, 8, 9. Известно, что $B = 2A$. Найдите число $A$. В ответ запишите какое-нибудь одно такое число…

1. 1
   Число $A$ должно быть составлено из цифр 2, 4, 7, 9, причём $A > 2500$. Перебираем подходящие перестановки и удваиваем их.
2. 2
   Для числа $A = 2749$ получаем:$$2749 \cdot 2 = 5498$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Итоговая отметка Пети

В конце четверти Петя выписал подряд все свои отметки по одному из предметов, их оказалось 5, и поставил между некоторыми из них знаки умножения. Произведение получившихся чисел оказалось равным…

1. 1
   Разложим произведение на множители, записанные последовательностью цифр отметок. Получаем:$$1398 = 2 \cdot 3 \cdot 233$$
2. 2
   Следовательно, пять отметок имеют вид $2, 3, 2, 3, 3$, поскольку число $233$ состоит из трёх допустимых цифр.

Ещё 2 шага — в полном решении

Четырёхзначное число с условием

Найдите четырёхзначное число, кратное 15, произведение цифр которого больше 35, но меньше 45. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Число, кратное 15, должно делиться на 3 и на 5. Поэтому его последняя цифра может быть 5.
2. 2
   Рассмотрим число 1245. Сумма его цифр равна 12, поэтому число делится на 3, а последняя цифра 5 означает, что оно делится на 5. Следовательно, число кратно 15.$$1+2+4+5=12$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Удаление цифр и делимость

Вычеркните в числе 30239545 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 22. В ответе укажите какое-нибудь одно получившееся число.

1. 1
   Так как $22 = 2 \cdot 11$, получившееся число должно делиться на 2 и на 11.
2. 2
   Вычёркиваем из числа 30239545 цифры 3, 5 и 5. Оставшиеся цифры образуют число 30294.

Ещё 2 шага — в полном решении

Наибольшее трёхзначное число

Найдите наибольшее трёхзначное число, в записи которого не используется цифра 9 и которое нацело делится на 5.

1. 1
   Число, которое делится на 5, оканчивается цифрой 0 или 5.
2. 2
   Чтобы число было наибольшим, его сотни должны быть равны 8, так как цифра 9 запрещена. Наибольшая допустимая цифра в разряде десятков также равна 8.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Четырёхзначное число кратное 22

Найдите четырёхзначное число, кратное 22, произведение цифр которого равно 40. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Разложим число 22 на множители: $22 = 2 \cdot 11$. Значит, искомое число должно делиться на 2 и на 11.
2. 2
   Число 1518 оканчивается чётной цифрой, поэтому делится на 2.

Ещё 2 шага — в полном решении

Пятизначное число с произведением цифр

Найдите пятизначное число, кратное 15, произведение цифр которого равно 60. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Число, кратное 15, должно делиться на 3 и на 5. Поэтому его последняя цифра может быть равна 5.
2. 2
   Рассмотрим пятизначное число 11265. Произведение его цифр равно 60.$$1 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 6 \cdot 5 = 60$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Четырёхзначное число кратное 45

Найдите четырёхзначное натуральное число, кратное 45, все цифры которого различны и чётны. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Число, кратное 45, должно делиться на 5 и на 9, поскольку $45 = 5 \cdot 9$.
2. 2
   Так как все цифры чётные, последняя цифра при делимости на 5 должна быть равна 0.

Ещё 2 шага — в полном решении

Четырёхзначное число кратное 125

Найдите четырёхзначное число, кратное 125, все цифры которого различны и нечётны. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Число, кратное 125, должно оканчиваться одним из сочетаний: 125, 250, 375, 500, 625, 750 или 875.
2. 2
   Все цифры числа должны быть нечётными и различными. Из возможных окончаний подходит 375.

Ещё 2 шага — в полном решении

Четырёхзначное число кратное 22

Найдите четырёхзначное число, кратное 22, произведение цифр которого равно 24. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Подберём четырёхзначное число, произведение цифр которого равно 24. Для числа 3124 имеем:$$3 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 4 = 24$$
2. 2
   Проверим делимость числа 3124 на 22. Число чётное, так как оканчивается цифрой 4. Кроме того, оно делится на 11, поскольку разность сумм цифр на нечётных и чётных местах равна нулю:$$(3 + 2) - (1 + 4) = 0$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Наибольшее число, кратное 20

Найдите наибольшее трёхзначное число, которое нацело делится на 20.

1. 1
   Наибольшее трёхзначное число равно 999. Ищем ближайшее к нему число, кратное 20.
2. 2
   Числа, кратные 20, оканчиваются на 00, 20, 40, 60 или 80. Поэтому наибольшее подходящее трёхзначное число — 980.

Сумма из карточек

На шести карточках написаны цифры 1, 2, 2, 3, 5, 7 (по одной цифре на каждой карточке). В выражении $\square + \square\square + \square\square\square$ вместо каждого квадратика положили карточку из…

1. 1
   Расположим карточки так, чтобы получить числа $7$, $12$ и $721$. Все цифры набора $1, 2, 2, 3, 5, 7$ использованы ровно по одному разу.$$7 + 12 + 721$$
2. 2
   Вычислим полученную сумму.$$7 + 12 + 721 = 740$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Итоговая отметка Пети

В конце четверти Петя выписал подряд все свои отметки по одному из предметов, их оказалось 5, и поставил между некоторыми из них знаки умножения. Произведение получившихся чисел оказалось равным…

1. 1
   Представим произведение в виде произведения чисел, составленных из пяти отметок. Подходит разложение $5230 = 523 \cdot 2 \cdot 5$.
2. 2
   Значит, последовательность отметок может быть такой: $5, 2, 3, 2, 5$. Между первой тройкой ставим знаки умножения так, чтобы получить число 523.

Ещё 2 шага — в полном решении

Делимость числа после вычёркивания цифр

Вычеркните в числе 74513527 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 15. В ответе запишите какое-нибудь одно получившееся число.

1. 1
   Число, делящееся на 15, должно делиться на 3 и на 5.
2. 2
   Выберем из исходного числа цифры 7, 4, 5, 3, 5, не меняя их порядок. Получаем число 74535.

Ещё 1 шаг — в полном решении