Тапсырма 20 ЕГЭ по базалық математикаға: ФИПИ шешімдері қадамдық жауаптарымен

Концентрация раствора после разбавления

В сосуд, содержащий 6 кг 30-процентного водного раствора вещества, добавили 4 кг воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

1. 1
   Найдём массу вещества в исходном растворе:$$m = 6 \cdot 0{,}30 = 1{,}8\ \text{кг}$$
2. 2
   После добавления воды масса вещества не изменится, а масса раствора станет равной:$$M = 6 + 4 = 10\ \text{кг}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Средняя скорость на трассе

Первую треть трассы автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, вторую треть — со скоростью 150 км/ч, а последнюю треть — со скоростью 100 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего…

1. 1
   Пусть длина всей трассы равна $3s$. Тогда длина каждого из трёх участков равна $s$.
2. 2
   Найдём время движения на каждом участке и сложим его:$$t = \frac{s}{60} + \frac{s}{150} + \frac{s}{100}$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Совместная работа маляров

Поручение на окрашивание деталей маляр Сергей мог выполнить за 6 часов. Однако к нему на помощь были направлены ещё два маляра. Скорость работы первого в 1,5 раза, а второго в 1,25 больше, чем у…

1. 1
   Примем объём всей работы за 1. Производительность Сергея составляет одну шестую работы в час.$$v_С=\dfrac{1}{6}$$
2. 2
   Производительности первого и второго маляров соответственно равны:$$v_1=1{,}5\cdot\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{4},\qquad v_2=1{,}25\cdot\dfrac{1}{6}=\dfrac{5}{24}$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Скорость туриста на спуске

Дорога между пунктами А и В состоит из подъёма и спуска, а её длина равна 17 км. Путь из А в В занял у туриста 11 часов, из них 3 часа ушло на спуск. Найдите скорость туриста на спуске, если она…

1. 1
   Пусть скорость туриста на подъёме равна $x$ км/ч. Тогда скорость на спуске равна $x+2$ км/ч.
2. 2
   На подъём турист затратил $11-3=8$ часов. Поэтому длина подъёма равна $8x$ км, а длина спуска — $3(x+2)$ км.

Ещё 3 қадам — толық шешімде

Средняя скорость путешественника

Путешественник переплыл море на яхте со средней скоростью 14 км/ч. Обратно он летел на спортивном самолёте со скоростью 378 км/ч. Найдите среднюю скорость путешественника на протяжении всего пути…

1. 1
   Пусть расстояние в один конец равно $S$ км. Тогда общее расстояние составляет $2S$ км, а общее время движения равно сумме времён двух участков.$$t = \frac{S}{14} + \frac{S}{378}$$
2. 2
   Средняя скорость равна отношению всего пройденного пути ко всему времени.$$v_{\text{ср}} = \frac{2S}{\frac{S}{14} + \frac{S}{378}}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Концентрация смешанного раствора

Смешали некоторое количество 20-процентного раствора вещества с таким же количеством 16-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

1. 1
   Пусть количество каждого раствора равно $m$. Тогда масса растворённого вещества в смеси равна $0{,}2m + 0{,}16m$, а масса смеси — $2m$.$$c = \dfrac{0{,}2m + 0{,}16m}{2m}$$
2. 2
   Вычислим концентрацию получившегося раствора.$$c = \dfrac{0{,}36m}{2m} = 0{,}18 = 18\%$$

Концентрация раствора после разбавления

В сосуд, содержащий 7 кг 26-процентного водного раствора вещества, добавили 6 кг воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

1. 1
   Найдём массу вещества в исходном растворе:$$m = 7 \cdot 0{,}26 = 1{,}82\ \text{кг}$$
2. 2
   После добавления воды масса раствора стала равна:$$M = 7 + 6 = 13\ \text{кг}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Масса третьего сплава

Имеется два сплава. Первый сплав содержит 25 % меди, второй — 5 % меди. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 20 % меди. Масса первого сплава равна 30 кг. Найдите массу третьего…

1. 1
   Пусть масса второго сплава равна $x$ кг. Тогда масса третьего сплава равна $(30+x)$ кг.$$m_3=30+x$$
2. 2
   Масса меди в первом и втором сплавах в сумме равна массе меди в третьем сплаве.$$0{,}25\cdot30+0{,}05x=0{,}20(30+x)$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Количество верных ответов

Список заданий викторины состоял из 40 вопросов. За каждый правильный ответ участник получал 9 очков, за неправильный ответ с него списывали 11 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько…

1. 1
   Обозначим через $x$ число правильных ответов, а через $y$ — число неправильных ответов. По условию участник набрал 171 очко:$$9x - 11y = 171$$
2. 2
   Ошибок хотя бы одна, поэтому $y \geq 1$. Кроме того, правильные и неправильные ответы занимают не более 40 вопросов: $x+y \leq 40$.

Ещё 3 қадам — толық шешімде

Количество вопросов в тесте

Петя и Ваня выполняют одинаковый тест. Петя отвечает за час на 8 вопросов теста, а Ваня — на 10. Они одновременно начали отвечать на вопросы теста, и Петя закончил свой тест позже Вани на 51 минуту…

1. 1
   Пусть в тесте $x$ вопросов. Время работы Пети равно $\dfrac{x}{8}$ часа, а время работы Вани — $\dfrac{x}{10}$ часа.
2. 2
   Переведём 51 минуту в часы: $51 : 60 = 0{,}85$ часа. По условию разность времени равна $0{,}85$ часа.$$\dfrac{x}{8} - \dfrac{x}{10} = 0{,}85$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Смеси сплавов с никелем

Имеется два сплава. Первый содержит 5 % никеля, второй — 50 % никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 35 % никеля. Масса первого сплава равна 65 кг. На сколько килограммов…

1. 1
   Пусть масса второго сплава равна $x$ кг. Масса никеля в первом сплаве составляет $0{,}05 \cdot 65$ кг, а во втором — $0{,}5x$ кг.$$0{,}05 \cdot 65 + 0{,}5x = 0{,}35(65+x)$$
2. 2
   Решим уравнение:$$3{,}25 + 0{,}5x = 22{,}75 + 0{,}35x$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Встреча автомобилей на маршруте

Расстояние между городами A и B равно 610 км. Из города A в город B со скоростью 50 км/ч выехал первый автомобиль, а через 3 часа после этого навстречу ему из города B выехал со скоростью 65 км/ч…

1. 1
   За первые 3 часа первый автомобиль проехал:$$50 \cdot 3 = 150\ \text{км}$$
2. 2
   К моменту выезда второго автомобиля между автомобилями оставалось:$$610 - 150 = 460\ \text{км}$$

Ещё 3 қадам — толық шешімде

Выплата частным акционерам

Государству принадлежит 75% акций предприятия, остальные акции принадлежат частным лицам. Общая прибыль предприятия после уплаты налогов за год составила 16 млн рублей. Какая сумма из этой прибыли…

1. 1
   Определим долю акций, принадлежащих частным лицам:$$100\% - 75\% = 25\%$$
2. 2
   Вычислим сумму прибыли, которая приходится на частных акционеров:$$16 \cdot \frac{25}{100} = 4$$

Концентрация раствора после разбавления

В сосуд, содержащий 5 кг 16-процентного водного раствора вещества, добавили 3 кг воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

1. 1
   Найдём массу вещества в исходном растворе:$$m = 5 \cdot 0{,}16 = 0{,}8\ \text{кг}$$
2. 2
   После добавления воды масса вещества не изменится, а масса раствора станет равной:$$M = 5 + 3 = 8\ \text{кг}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Количество вопросов в тесте

Петя и Ваня выполняют одинаковый тест. Петя отвечает за час на 10 вопросов теста, а Ваня — на 24. Они одновременно начали отвечать на вопросы теста, и Петя закончил свой тест позже Вани на 70 минут…

1. 1
   Пусть в тесте $x$ вопросов. Время выполнения теста Петей равно $\dfrac{x}{10}$ часа, а Ваней — $\dfrac{x}{24}$ часа.
2. 2
   Петя затратил на выполнение на 70 минут больше. Переведём это время в часы: $70$ минут $= \dfrac{7}{6}$ часа.$$\frac{x}{10} - \frac{x}{24} = \frac{7}{6}$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Скорость первого автомобиля

Расстояние между городами A и B равно 780 км. Из города A в город B выехал первый автомобиль, а через час после этого навстречу ему из города B выехал со скоростью 90 км/ч второй автомобиль. Найдите…

1. 1
   До места встречи второй автомобиль проехал расстояние от города B до точки встречи:$$780 - 330 = 450\text{ км}$$
2. 2
   Найдём время движения второго автомобиля:$$t_2 = \frac{450}{90} = 5\text{ ч}$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Производительность Юли

Юля и Уля, работая вместе, пропалывают грядку за 24 минуты, а одна Уля — за 120 минут. За сколько минут пропалывает грядку одна Юля?

1. 1
   Пусть Юля одна пропалывает грядку за $x$ минут. Тогда её производительность равна $\dfrac{1}{x}$ грядки в минуту, а производительность Ули — $\dfrac{1}{120}$ грядки в минуту.$$\frac{1}{x} + \frac{1}{120} = \frac{1}{24}$$
2. 2
   Вычтем производительность Ули из общей производительности.$$\frac{1}{x} = \frac{1}{24} - \frac{1}{120} = \frac{5-1}{120} = \frac{1}{30}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Тетради трёх учеников

На столе лежали тетради для трёх учеников. Сначала пришёл первый, забрал треть всех тетрадей и ушёл. Следом пришёл второй и, не зная о том, что часть тетрадей уже забрали, взял треть лежавших на…

1. 1
   После ухода каждого ученика на столе остаётся две трети лежавших перед этим тетрадей.$$\dfrac{2}{3}$$
2. 2
   Пусть первоначально было $x$ тетрадей. После ухода трёх учеников осталось:$$x\left(\dfrac{2}{3}\right)^3 = 8$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Совместная работа мастеров

Один мастер может выполнить некоторый заказ за 36 часов, а другой — за 12 часов. За сколько часов выполнят этот заказ оба мастера, работая вместе?

1. 1
   Первый мастер выполняет за один час $\dfrac{1}{36}$ заказа, а второй — $\dfrac{1}{12}$ заказа.$$\frac{1}{36} + \frac{1}{12}$$
2. 2
   Найдём совместную производительность мастеров.$$\frac{1}{36} + \frac{1}{12} = \frac{1}{36} + \frac{3}{36} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Сплавы с разным содержанием меди

Имеется два сплава. Первый сплав содержит 10 % меди, второй — 50 % меди. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 15 % меди. Масса первого сплава равна 70 кг. Найдите массу третьего…

1. 1
   Пусть масса второго сплава равна $x$ кг. Тогда масса третьего сплава равна $(70+x)$ кг.$$m_3=70+x$$
2. 2
   Составим уравнение по количеству меди в сплавах:$$0{,}1\cdot70+0{,}5x=0{,}15(70+x)$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде