Задание 18 ЕГЭ по базовой математике: решения ФИПИ с ответами по шагам

Для неравенства А найдём корни уравнения $x^2 + 11x - 12 = 0$: $x_1 = -12$, $x_2 = 1$. Так как коэффициент при $x^2$ положительный, решение неравенства имеет вид промежутка между корнями: $[-12; 1]$. Соответствие: А—2.$$x^2 + 11x - 12 = (x + 12)(x - 1)$$

Для неравенства Б корни равны $-1$ и $12$. Решение: $[-1; 12]$. Соответствие: Б—1.$$x^2 - 11x - 12 = (x + 1)(x - 12)$$

Решим неравенство А. Так как основание логарифма $2>1$, знак сохраняется:$$\log_2 x>1\Longleftrightarrow x>2$$

Решим неравенство Б. Представим число $2$ как $2^1$ и сравним показатели:$$2^{-x}>2^1\Longleftrightarrow -x>1\Longleftrightarrow x<-1$$

Для неравенства А найдём корни квадратного трёхчлена:$$x^2 + 7x - 30 = (x + 10)(x - 3)$$

Так как требуется значение, не превышающее нуля, берём промежуток между корнями:$$x \in [-10; 3]$$

Оценим первое выражение: $2\sqrt{2}-\sqrt{3}\approx2\cdot1{,}414-1{,}732\approx1{,}10$. Оно соответствует точке $B$.$$2\sqrt{2}-\sqrt{3}\approx1{,}10$$

Второе выражение упрощается до корня из шести: $\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}=\sqrt{6}\approx2{,}45$. Оно соответствует точке $C$.$$\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}=\sqrt{6}\approx2{,}45$$

Так как основание логарифма $2>1$, функция $y=\log_2 x$ возрастает, поэтому знак неравенства сохраняется при переходе к показательной форме.

Для неравенства А получаем $x>2^2=4$, то есть интервал $(4;+\infty)$. Ему соответствует решение 1.

За каждый прыжок координата изменяется на $1$ или на $-1$. После 8 прыжков координата лежит от $-8$ до $8$.

Так как число прыжков чётное, координата после 8 прыжков также должна быть чётной. Все значения от $-8$ до $8$ с чётным шагом достижимы:$$-8, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8$$

Для неравенства $(x-1)^2(x-4)<0$ множитель $(x-1)^2$ неотрицателен и обращается в ноль при $x=1$. Произведение отрицательно при $x<4$, кроме точки $x=1$.$$x\in(-\infty;1)\cup(1;4)$$

Для неравенства $\dfrac{x-1}{x-4}>0$ дробь положительна, когда числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки.$$x\in(-\infty;1)\cup(4;+\infty)$$

Для неравенства А найдём корни: $x^2 - 13x + 36 = (x - 4)(x - 9)$. Так как старший коэффициент положителен, выражение неотрицательно вне корней: $x \in (-\infty; 4] \cup [9; +\infty)$. Это решение 2.$$(x - 4)(x - 9) \ge 0$$

Для неравенства Б: $x^2 + 13x + 36 = (x + 9)(x + 4)$. Решение: $x \in (-\infty; -9] \cup [-4; +\infty)$. Это решение 3.$$(x + 9)(x + 4) \ge 0$$

По координатной прямой видно, что $m>n>0$. Поэтому $n-m<0$, а отрицательному числу соответствует точка $A$.$$A\leftrightarrow n-m\quad (2)$$

Так как $0<n<m$, отношение $\dfrac{n}{m}$ лежит между $0$ и $1$. Ему соответствует точка $B$.$$B\leftrightarrow \dfrac{n}{m}\quad (3)$$

По координатной прямой видно, что число $m$ расположено между $0$ и $1$.

Так как $0<m<1$, то $3<4-m<4$. Следовательно, выражение $4-m$ принадлежит отрезку 4.

Для неравенства А критические точки — $x=2$ и $x=3$. Знаменатель положителен вне промежутка между этими точками, поэтому$$\dfrac{1}{(x-2)(x-3)}>0\quad\Longrightarrow\quad x\in(-\infty;2)\cup(3;+\infty)$$

Так как основание показательной функции больше единицы, сравниваем показатели:$$3^{-x+3}>3^1\quad\Longrightarrow\quad -x+3>1\quad\Longrightarrow\quad x<2$$

По координатной прямой видно, что $m$ — отрицательное число, расположенное немного левее $-2$, а $n$ — положительное число, расположенное немного левее $1$. Точка $A$ находится примерно в районе $-2$, точка $B$ — между $0$ и $1$, точка…

Произведение $mn$ отрицательно и по величине близко к $-2$, поэтому ему соответствует точка $A$.$$A=mn$$

Представим число $0{,}5$ как степень двойки: $0{,}5 = 2^{-1}$.

Для неравенства А основание больше единицы, поэтому знак сохраняется: $2^x \geq 2^{-1}$, откуда $x \geq -1$. Это решение 1.

Так как основание $0{,}5$ находится между нулём и единицей, логарифмическая функция убывает. Область определения всех неравенств: $x>0$.$$0<0{,}5<1$$

Для неравенства А при переходе к показательной форме знак меняется:$$\log_{0,5}x\ge 1 \Longleftrightarrow x\le (0{,}5)^1=\frac12$$

Для неравенства А произведение двух линейных множителей отрицательно между корнями $3$ и $4$.

Для неравенства Б дробь положительна, когда числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки. Точки $3$ и $4$ исключаются.

Разложим выражение в неравенстве А на множители. Корни равны $4$ и $9$. При положительном старшем коэффициенте выражение неотрицательно вне промежутка между корнями.$$x^2 - 13x + 36 = (x-4)(x-9),\quad x \le 4\ \text{или}\ x \ge 9$$

Для неравенства Б корни равны $-9$ и $-4$. Выражение неотрицательно вне промежутка между корнями.$$x^2 + 13x + 36 = (x+9)(x+4),\quad x \le -9\ \text{или}\ x \ge -4$$

Вычислим значение третьего числа:$$\sqrt{0{,}5}\approx 0{,}7$$

Точка $A$ расположена примерно в координате $0{,}7$, поэтому ей соответствует число 3.

Для неравенства А рассмотрим знаки множителей. Квадрат $(x-1)^2$ положителен при $x\ne1$, поэтому произведение отрицательно, когда $x-5<0$. Точка $x=1$ исключается как ноль выражения, а $x=5$ не входит в решение.

Для неравенства Б произведение двух линейных множителей отрицательно между корнями $1$ и $5$.

Так как основание логарифма $2>1$, функция $y=\log_2 x$ возрастает. Область допустимых значений: $x>0$.$$a>b \Longleftrightarrow 2^a>2^b$$

Решаем неравенство А: из $\log_2 x>1$ получаем $x>2^1=2$. Это решение 4.$$\log_2 x>1 \Longleftrightarrow x>2$$

В неравенстве А вычисляем логарифм: $\log_2 2=1$. Так как функция $2^x$ возрастает, получаем $x>0$.$$x\in(0; +\infty)$$

В неравенстве Б представляем число $4$ в виде $2^2$: $2^x>2^2$, откуда $x>2$.$$x\in(2; +\infty)$$