Тапсырма 14 ЕГЭ по информатикаға: ФИПИ шешімдері қадамдық жауаптарымен

Преобразуем выражение к степеням числа $3$:$$9^8 \times 3^{20} - 3^{10} - 3 = 3^{16} \times 3^{20} - 3^{10} - 3 = 3^{36} - 3^{10} - 3$$

В троичной записи числа $3^{36} - 3^{10}$ стоят цифры $2$ на позициях от $10$ до $35$. После вычитания $3 = 3^1$ происходит заимствование: на позициях от $1$ до $9$ появляются цифры $2$, на позиции $10$ остаётся цифра $1$, а на позициях…

Представим основания степеней через $8$: $512 = 8^3$, $64 = 8^2$.$$7 \cdot 512^{19} + 64^{18} - 5 \cdot 8^{17} - 16 = 7 \cdot 8^{57} + 8^{36} - 5 \cdot 8^{17} - 16$$

Выполним вычитание и сложение в восьмеричной системе счисления, учитывая заимствования при вычитании $5 \cdot 8^{17}$ и $16$.

Преобразуем основание степени: $49 = 7^2$.$$49^{11} = (7^2)^{11} = 7^{22}$$

Перепишем исходное выражение.$$49^{11} + 7^{33} - 7 = 7^{33} + 7^{22} - 7$$

Выразим все степени через основание $27$:$$729^{75} = (27^2)^{75} = 27^{150},\quad 243^{78} = (27^{5/3})^{78} = 27^{130},\quad 81^{81} = 27^{108},\quad 9^{87} = 27^{58}$$

Число $58$ представим в системе счисления с основанием $27$: $58 = 2 \cdot 27 + 4$.$$N = 2 \cdot 27^{150} + 2 \cdot 27^{130} + 27^{108} + 2 \cdot 27^{84} + 2 \cdot 27^{58} + 2 \cdot 27^1 + 4$$

Выразим основания степеней через основание системы счисления:$$256^9=(4^4)^9=4^{36},\quad 64^{10}=(4^3)^{10}=4^{30},\quad 16^{11}=(4^2)^{11}=4^{22}$$

После подстановки получаем выражение, представленное через степени $4$:$$3\cdot4^{36}-4^{30}+2\cdot4^{22}-17$$

Заменим $49^{10}$ степенью числа 7:$$49^{10} = (7^2)^{10} = 7^{20}$$

Выражение принимает вид:$$7^{30} + 7^{20} - 7^2$$

Используем представление выражения:$$3^{100}-x=(3^{100}-1)-(x-1)$$

Число $3^{100}-1$ в троичной системе счисления записывается как сто цифр $2$. Поэтому при вычитании $x-1$ нули в результате возникают на позициях, где в троичной записи числа $x-1$ стоят цифры $2$.

Поскольку $x \leq 2300 < 7^{150}$, вычитание $x$ происходит из слагаемого $7^{150}$. Получаем запись числа как суммы старшей единицы $7^{350}$ и числа $7^{150}-x$.$$7^{350}+7^{150}-x = 7^{350} + (7^{150}-x)$$

В разрядах от $7^{349}$ до $7^{150}$ находятся нули. Всего таких разрядов 200.

Для проверки делимости на 18 используем свойство $19 \equiv 1 \pmod{18}$. Поэтому остаток каждого числа по модулю 18 равен сумме его цифр.$$348x79643_{19} \equiv 44+x \pmod{18},\quad 16x52_{19} \equiv 14+x \pmod{18},\quad 43x7_{19} \equiv 14+x \pmod{18}$$

Складываем остатки и проверяем допустимые значения цифры $x$ из диапазона от 0 до 18. Выбираем наибольшее значение, при котором выражение кратно 18.

Поскольку $19 \equiv 1 \pmod{18}$, каждое число в 19-ричной системе сравнимо по модулю 18 с суммой его цифр.

Суммы цифр трёх слагаемых равны соответственно $44+x$, $14+x$ и $14+x$. Сумма всего выражения равна $72+3x$.

Представим числа $9$ как степени основания $3$:$$9^7 + 3^{21} - 9 = 3^{14} + 3^{21} - 3^2$$

Сгруппируем слагаемые:$$3^{21} + (3^{14} - 3^2)$$

Представим число $25$ как степень пятёрки: $25 = 5^2$.$$25^{18} \times 5^{10} - 5^6 - 25 = 5^{36} \times 5^{10} - 5^6 - 5^2 = 5^{46} - 5^6 - 5^2$$

В пятеричной записи числа $5^{46} - 5^6$ стоят цифры 4 в разрядах с номерами от 6 до 45, а в разряде 46 стоит цифра 1.

Перепишем степени чисел через основание $6$: $1296 = 6^4$, $216 = 6^3$, $36 = 6^2$.$$N = 5\cdot 6^{8084} - 4\cdot 6^{6066} + 3\cdot 6^{4046} - 2\cdot 6^{2024} - 2025$$

Выполним вычитание и сложение по разрядам, переводя полученную запись в систему счисления с основанием $36$. При каждом переносе или заёме значение разряда приводится к диапазону от $0$ до $35$.

Заменяем основания степеней на степени числа $5$:$$625^{1920}=(5^4)^{1920}=5^{7680},\quad 125^{1930}=5^{5790},\quad 25^{1940}=5^{3880}$$

Получаем выражение, удобное для вычислений в пятеричной системе:$$N=4\cdot5^{7680}+4\cdot5^{5790}-4\cdot5^{3880}-3\cdot5^{1950}-1960$$

Представим число $9$ как степень числа $3$:$$9^{12} = (3^2)^{12} = 3^{24}$$

Тогда исходное выражение принимает вид:$$3^{24} + 3^7 - 3$$

Перепишем основания степеней через степени тройки:$$729=3^6,\quad 243=3^5,\quad 81=3^4,\quad 27=3^3,\quad 9=3^2$$

Тогда исходное число принимает вид:$$N=2\cdot3^{12084}+2\cdot3^{10080}-2\cdot3^{8072}+2\cdot3^{6060}-2\cdot3^{4044}-2024$$

Представим все слагаемые как степени числа $7$:$$49^{14} + 7^{42} - 49 = 7^{28} + 7^{42} - 7^2$$

В записи числа $7^{42} + 7^{28}$ в системе счисления с основанием $7$ стоят единицы в разрядах с номерами $42$ и $28$. При вычитании $7^2$ выполняется заимствование из разряда $28$.

Разложим числа по степеням основания $22$ и приведём выражение к десятичному виду.$$98x79641_{22}+36x14_{22}+73x4_{22}=23358841515+5154138x$$

Цифра $x$ может принимать значения от $0$ до $21$. Проверка делимости полученного выражения на $21$ показывает, что наибольшее подходящее значение — $x=18$.$$23358841515+5154138\cdot18=23451615999$$

Переведём число $1\mathrm{D}_{16}$ в десятичную систему:$$1\mathrm{D}_{16}=1\cdot16+13=29$$

Переведём число $72_8$ в десятичную систему:$$72_8=7\cdot8+2=58$$

Поскольку $x\leq 2030<3^7$, при вычитании $x$ из $3^{100}$ старшие разряды результата становятся равными 2. Поэтому количество нулей определяется семью младшими разрядами.$$3^{100}-x=\underbrace{222\ldots222}_{93\ \text{цифры}}(3^7-x)_3$$

Обозначим $y=3^7-x=2187-x$. Для максимального $x$ нужно найти наименьшее подходящее значение $y$ при условии $x\leq2030$, то есть $y\geq157$.