Задание 14 ЕГЭ по информатике: решения ФИПИ с ответами по шагам

Нули в пятеричной записи

Значение арифметического выражения $5^{150} + 5^{100} - x$, где $x$ — целое положительное число, не превышающее 2030, записали в 5-ричной системе счисления. Определите наибольшее значение $x$, при…

1. 1
   Так как $x \leq 2030 < 5^{100}$, перепишем выражение:$$5^{150} + 5^{100} - x = 5^{150} + (5^{100} - x)$$
2. 2
   В пятеричной записи числа $5^{150} + (5^{100} - x)$ между единицами в разрядах $150$ и $100$ находятся разряды с номерами от 100 до 149. Они дают ровно 50 нулей.

Ещё 3 шага — в полном решении

Количество единиц в двоичной записи

Сколько единиц содержится в двоичной записи значения выражения $4^8 + 2^8 - 8$?

1. 1
   Представим первую степень через степень двойки:$$4^8 = (2^2)^8 = 2^{16}$$
2. 2
   Вычислим значение выражения:$$2^{16} + 2^8 - 8 = 65536 + 256 - 8 = 65784$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Подсчёт нулей в восьмеричной записи

Значение арифметического выражения $7\cdot512^{120}-6\cdot64^{100}+8^{210}-255$ записали в системе счисления с основанием $8$. Сколько цифр $0$ содержится в этой записи?

1. 1
   Выразим основания степеней через число $8$: $512=8^3$, $64=8^2$.$$7\cdot512^{120}-6\cdot64^{100}+8^{210}-255=7\cdot8^{360}-6\cdot8^{200}+8^{210}-255$$
2. 2
   Запишем слагаемые по разрядам восьмеричной системы. Степени числа $8$ определяют позиции единичных разрядов, а вычитание $6\cdot8^{200}$ и числа $255$ приводит к заимствованиям между разрядами.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Делимость числа в системе счисления

Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 22: $27x98876_{22} + 26x51_{22} + 711x5_{22}$. В записи чисел переменной $x$ обозначена неизвестная цифра из алфавита…

1. 1
   Представим числа в десятичной системе, используя разрядные коэффициенты основания 22.$$27x98876_{22}=2\cdot22^6+7\cdot22^5+x\cdot22^4+9\cdot22^3+8\cdot22^2+8\cdot22+6$$
2. 2
   Аналогично раскладываем два остальных слагаемых и объединяем постоянную часть и коэффициент при $x$.

Ещё 2 шага — в полном решении

Цифры в записи числа

Значение арифметического выражения $2^{56} + 5^4 - 25$ записали в системе счисления с основанием $5$. Сколько цифр «4» содержится в этой записи?

1. 1
   Вычислим значение арифметического выражения в десятичной системе:$$2^{56} + 5^4 - 25 = 72057594037928536$$
2. 2
   Переведём полученное число в систему счисления с основанием $5$ последовательным делением на $5$. Запись числа имеет вид:$$72057594037928536_{10} = 1101024213112003410203121_5$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значащие нули в двоичной записи

Количество значащих нулей в двоичной записи десятичного числа 129 равно

1. 1
   Представим число 129 как сумму степеней двойки:$$129 = 128 + 1 = 2^7 + 2^0$$
2. 2
   Следовательно, двоичная запись числа 129 — $10000001$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Подсчёт цифр в троичной записи

Значение арифметического выражения $9^{12} + 3^8 - 3$ записали в системе счисления с основанием $3$. Сколько цифр «2» содержится в этой записи?

1. 1
   Преобразуем первую степень:$$9^{12} = (3^2)^{12} = 3^{24}$$
2. 2
   Представим вторую часть выражения в троичной системе. Число $3^8 - 1$ состоит из восьми цифр «2»:$$3^8 - 1 = (22222222)_3$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Нули в записи по основанию 64

Значение арифметического выражения $6 \cdot 512^{195} + 7 \cdot 64^{196} + 3 \cdot 8^{198} + 5 \cdot 8^{193} + 200$ записали в системе счисления с основанием $64$. Сколько значащих нулей содержится…

1. 1
   Преобразуем первое слагаемое:$$6 \cdot 512^{195} = 6 \cdot (8 \cdot 64)^{195} = 6 \cdot 8^{195} \cdot 64^{195} = 48 \cdot 64^{292}$$
2. 2
   Преобразуем слагаемые со степенями числа $8$ и число $200$:$$3 \cdot 8^{198} = 3 \cdot 64^{99},\quad 5 \cdot 8^{193} = 40 \cdot 64^{96},\quad 200 = 3 \cdot 64 + 8$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Цифры в 27-ричной записи

Значение арифметического выражения $2 \cdot 2187^{567} + 729^{566} - 2 \cdot 243^{565} + 81^{564} - 2 \cdot 27^{563} - 6561$ записали в системе счисления с основанием $27$. Определите в $27$-ричной…

1. 1
   Представим основания степенями числа $3$ и раскроем степени:$$2187=3^7,\quad 729=3^6,\quad 243=3^5,\quad 81=3^4,\quad 27=3^3,\quad 6561=3^8$$
2. 2
   Преобразуем каждую степень в степень числа $27$. Для двух слагаемых появляются коэффициенты, не кратные $3$:$$2\cdot 2187^{567}+729^{566}-2\cdot243^{565}+81^{564}-2\cdot27^{563}-6561=2\cdot27^{1323}+27^{1132}-18\cdot27^{941}+27^{752}-2\cdot27^{563}-9\cdot27^2$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Три нуля в троичной записи

Значение арифметического выражения $3^{100} - x$, где $x$ — целое положительное число, не превышающее 2030, записали в троичной системе счисления. Определите наибольшее значение $x$, при котором в…

1. 1
   Переведём числа, начиная с наибольших допустимых значений $x$, в троичную систему и выполним вычитание из $3^{100}=1000\ldots000_3$.
2. 2
   Для $x=2030$ получаем $2030=22100012_3$. В записи числа $3^{100}-2030$ содержатся только два нуля.

Ещё 3 шага — в полном решении

Числа с двоичным окончанием

Укажите через запятую в порядке возрастания все числа, не превосходящие 25, запись которых в двоичной системе счисления оканчивается на 101.

1. 1
   Окончание двоичной записи на $101$ означает, что последние три разряда числа равны $101_2 = 5_{10}$. Поэтому число имеет вид $8k+5$.$$n = 8k + 5$$
2. 2
   Перебираем неотрицательные значения $k$, при которых число не превосходит 25: при $k=0$ получаем 5, при $k=1$ — 13, при $k=2$ — 21. Следующее число равно 29 и не подходит.$$5,\ 13,\ 21,\ 29 > 25$$

Подсчёт цифр в системе счисления

Значение арифметического выражения $16^8 \times 4^{20} - 4^5 - 64$ записали в системе счисления с основанием $4$. Сколько цифр $3$ содержится в этой записи?

1. 1
   Перепишем выражение, используя степени числа $4$:$$16^8 \times 4^{20} - 4^5 - 64 = 4^{16} \times 4^{20} - 4^5 - 4^3 = 4^{36} - 4^5 - 4^3$$
2. 2
   В системе счисления с основанием $4$ число $4^{36}-1$ записывается как $36$ цифр $3$: от старшего разряда до младшего идут цифры $3$.

Ещё 3 шага — в полном решении

Количество цифр 6 в записи

Значение арифметического выражения $49^{16} + 7^{48} - 49$ записали в системе счисления с основанием $7$. Сколько цифр «6» содержится в этой записи?

1. 1
   Перепишем выражение в виде степеней числа $7$:$$49^{16} + 7^{48} - 49 = 7^{32} + 7^{48} - 7^2$$
2. 2
   При вычитании $7^2$ из $7^{32}$ происходит заимствование: в разрядах от $7^2$ до $7^{31}$ появляются цифры $6$, а в разряде $7^{32}$ получается цифра $0$.$$7^{32} - 7^2 = 6\cdot 7^2 + 6\cdot 7^3 + \dots + 6\cdot 7^{31}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Подсчёт цифр в троичной записи

Значение арифметического выражения $2 \cdot 243^{16} - 81^{17} + 27^{18} - 21$ записали в системе счисления с основанием $3$. Сколько цифр $2$ содержится в этой записи?

1. 1
   Представим основания степеней как степени тройки:$$243=3^5,\quad 81=3^4,\quad 27=3^3$$
2. 2
   Преобразуем выражение:$$2\cdot243^{16}-81^{17}+27^{18}-21=2\cdot3^{80}-3^{68}+3^{54}-21$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Система счисления и делимость

Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 22. $81x9985_{22} + 36x51_{22} + 72x5_{22}$ В записи чисел переменной $x$ обозначена неизвестная цифра из алфавита…

1. 1
   Переведём каждое слагаемое из 22-ричной системы счисления в десятичную, сохраняя неизвестную цифру $x$:$$81x9985_{22}=8\cdot22^6+1\cdot22^5+x\cdot22^4+9\cdot22^3+9\cdot22^2+8\cdot22+5$$
2. 2
   После раскрытия всех разрядов получаем линейное выражение:$$81x9985_{22}+36x51_{22}+72x5_{22}=913135509+234762x$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Количество цифр 2 в записи

Значение арифметического выражения $9^{28} \times 3^{10} - 3^8 - 81$ записали в системе счисления с основанием 3. Сколько цифр 2 содержится в этой записи?

1. 1
   Преобразуем выражение к степеням числа 3:$$9^{28} \times 3^{10} - 3^8 - 81 = 3^{56} \times 3^{10} - 3^8 - 3^4 = 3^{66} - 3^8 - 3^4$$
2. 2
   В троичной записи числа $3^{66} - 3^8 - 3^4$ после заимствований цифры 2 находятся в разрядах с номерами $4,5,6,7$ и $9,10,\ldots,65$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Сложение чисел в системах счисления

Вычислите сумму чисел $x$ и $y$, при $x = \mathrm{B4}_{16}$, $y = 46_8$. Результат представьте в двоичной системе счисления.

1. 1
   Переведём число $\mathrm{B4}_{16}$ из шестнадцатеричной системы в десятичную. Цифра $\mathrm{B}$ соответствует числу 11.$$\mathrm{B4}_{16} = 11 \cdot 16 + 4 = 180_{10}$$
2. 2
   Переведём число $46_8$ из восьмеричной системы в десятичную.$$46_8 = 4 \cdot 8 + 6 = 38_{10}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Системы счисления и делимость

Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 19. $98897x21_{19}+2x923_{19}$ В записи чисел переменной $x$ обозначена неизвестная цифра из алфавита 19-ричной системы…

1. 1
   При делении на 18 основание 19 можно заменить на 1, поскольку $19 \equiv 1 \pmod{18}$. Поэтому остаток выражения определяется суммой всех его цифр.$$9+8+8+9+7+x+2+1+2+x+9+2+3=60+2x$$
2. 2
   Требуем делимость на 18: $60+2x \equiv 0 \pmod{18}$. Из допустимых цифр 19-ричной системы наибольшее подходящее значение — $x=15$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Количество цифр 5 в записи

Значение арифметического выражения $5 \cdot 216^9 - 36^{10} + 4 \cdot 6^{11} - 8$ записали в системе счисления с основанием 6. Сколько цифр 5 содержится в этой записи?

1. 1
   Перепишем числа $216$ и $36$ в виде степеней основания 6:$$216 = 6^3,\quad 36 = 6^2$$
2. 2
   Преобразуем выражение:$$5 \cdot 216^9 - 36^{10} + 4 \cdot 6^{11} - 8 = 5 \cdot 6^{27} - 6^{20} + 4 \cdot 6^{11} - 8$$

Ещё 4 шага — в полном решении

Цифры в троичной записи

Значение арифметического выражения $9^{30} + 3^{90} - 9$ записали в системе счисления с основанием $3$. Сколько цифр $2$ содержится в этой записи?

1. 1
   Перепишем выражение в степенях числа $3$:$$9^{30} + 3^{90} - 9 = 3^{60} + 3^{90} - 3^2$$
2. 2
   В троичной записи числа $3^{90} + 3^{60}$ стоят единицы в разрядах $90$ и $60$, а остальные разряды равны нулю.

Ещё 2 шага — в полном решении