Значение арифметического выражения $49^8 + 7^{24} - 49$ записали в системе счисления с основанием 7. Сколько цифр «6» содержится в этой записи?
- 1
Представим число 49 как степень основания 7:$$49 = 7^2$$
- 2
Преобразуем выражение:$$49^8 + 7^{24} - 49 = (7^2)^8 + 7^{24} - 7^2 = 7^{16} + 7^{24} - 7^2$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Значение арифметического выражения $49^6 + 7^{18} - 49$ записали в системе счисления с основанием 7. Сколько цифр «6» содержится в этой записи?
- 1
Преобразуем выражение, представив числа как степени основания 7.$$49^6 + 7^{18} - 49 = 7^{12} + 7^{18} - 7^2$$
- 2
В записи числа $7^{18} + 7^{12}$ в системе счисления с основанием 7 единицы стоят в разрядах $18$ и $12$. Вычитание $7^2$ вызывает заимствование из разряда $12$.
Ещё 1 шаг — в полном решении
Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 29. $923x874_{29} + 524x6152_{29}$ В записи чисел переменной $x$ обозначена неизвестная цифра из алфавита 29-ричной…
- 1
Так как $29 \equiv 1 \pmod{28}$, остаток числа, записанного в 29-ричной системе, равен остатку суммы его цифр.
- 2
Сумма цифр всех слагаемых выражения равна $58+2x$.$$58+2x \equiv 0 \pmod{28}$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Сколько единиц в двоичной записи числа 197?
- 1
Разложим число 197 на степени двойки:$$197 = 128 + 64 + 4 + 1 = 2^7 + 2^6 + 2^2 + 2^0$$
- 2
Значит, в разрядах с номерами 7, 6, 2 и 0 стоят единицы. Двоичная запись числа содержит четыре единицы:$$197_{10} = 11000101_2$$
В системе счисления с некоторым основанием число 17 записывается в виде 101. Укажите это основание.
- 1
Запишем число $101$ в развёрнутом виде в системе счисления с основанием $p$.$$101_p = 1 \cdot p^2 + 0 \cdot p + 1 = p^2 + 1$$
- 2
Приравняем полученное выражение к числу 17 и найдём основание.$$p^2 + 1 = 17 \Rightarrow p^2 = 16 \Rightarrow p = 4$$
Значение арифметического выражения записали в системе счисления с основанием 8. Определите количество цифр 7 в записи этого числа.
- 1
Для решения нужно знать само арифметическое выражение, значение которого требуется записать в восьмеричной системе счисления.
- 2
В предоставленном тексте и на изображении выражение отсутствует, поэтому перевести число в восьмеричную систему и подсчитать цифры 7 невозможно.
Сколько единиц содержится в двоичной записи значения выражения $4^{16} + 2^{36} - 8$?
- 1
Преобразуем степень числа 4 в степень двойки:$$4^{16} = (2^2)^{16} = 2^{32}$$
- 2
Исходное выражение принимает вид:$$2^{32} + 2^{36} - 2^3$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Вычислите сумму чисел $x$ и $y$, если $x = \mathrm{A7}_{16}$, $y = 56_8$. Результат представьте в двоичной системе счисления.
- 1
Переведём число $x$ из шестнадцатеричной системы в десятичную. Цифра $\mathrm{A}$ соответствует числу 10.$$x = 10 \cdot 16 + 7 = 167$$
- 2
Переведём число $y$ из восьмеричной системы в десятичную.$$y = 5 \cdot 8 + 6 = 46$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Значение арифметического выражения $16^{11} \times 4^{20} - 4^5 - 16$ записали в системе счисления с основанием 4. Сколько цифр 3 содержится в этой записи?
- 1
Перепишем выражение как степень числа 4:$$16^{11} \times 4^{20} - 4^5 - 16 = 4^{22} \times 4^{20} - 4^5 - 4^2 = 4^{42} - 4^5 - 4^2$$
- 2
В четверичной записи числа $4^{42}$ стоит единица в разряде $42$ и нули в остальных разрядах. Вычитание $4^5$ даёт цифры 3 в разрядах от 6 до 41 включительно: всего $41 - 6 + 1 = 36$ цифр.
Ещё 2 шага — в полном решении
Значение арифметического выражения $9^{19} + 3^{57} - 9$ записали в системе счисления с основанием $3$. Сколько цифр «2» содержится в этой записи?
- 1
Перепишем выражение через степени числа $3$:$$9^{19}+3^{57}-9=3^{38}+3^{57}-3^2$$
- 2
Вынесем $3^2$ за скобки:$$3^{38}+3^{57}-3^2=3^2(3^{36}+3^{55}-1)$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Значение арифметического выражения $9 \cdot 11^{350} + 8 \cdot 11^{150} - x$, где $x$ — целое положительное число, не превышающее $3000$, записали в $11$-ричной системе счисления. Определите…
- 1
Без вычитания $x$ число имеет в $11$-ричной системе цифры $9$ в разряде $350$, $8$ в разряде $150$ и нули в остальных разрядах.
- 2
При вычитании положительного $x$ происходит заимствование из разряда $150$. Поэтому разряды с $151$ по $349$ дают $199$ нулей, а в младших $150$ разрядах количество нулей совпадает с количеством цифр $10$ в записи числа $x-1$ в системе…
Ещё 3 шага — в полном решении
Значение арифметического выражения $4 \cdot 125^{32} - 3 \cdot 25^{25} + 4 \cdot 5^{13} - 14$ записали в системе счисления с основанием $5$. Сколько цифр $4$ содержится в этой записи?
- 1
Переведём основания степеней к основанию $5$:$$125^{32}=(5^3)^{32}=5^{96},\quad 25^{25}=(5^2)^{25}=5^{50}$$
- 2
Выражение принимает вид:$$N=4\cdot5^{96}-3\cdot5^{50}+4\cdot5^{13}-14$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Значение арифметического выражения $7 \cdot 512^{120} - 6 \cdot 64^{100} + 8^{210} - 255$ записали в системе счисления с основанием $8$. Сколько цифр $0$ содержится в этой записи?
- 1
Выразим числа $512$ и $64$ через степени основания $8$.$$512=8^3,\quad 64=8^2$$
- 2
Преобразуем первые два слагаемых.$$7\cdot512^{120}=7\cdot8^{360},\quad 6\cdot64^{100}=6\cdot8^{200}$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Значение арифметического выражения $5 \cdot 216^{20} - 4 \cdot 36^{10} + 6^{25} - 43$ записали в системе счисления с основанием 6. Сколько цифр 5 содержится в этой записи?
- 1
Заменим числа $216$ и $36$ степенями основания $6$.$$216^{20}=(6^3)^{20}=6^{60},\quad 36^{10}=(6^2)^{10}=6^{20}$$
- 2
Преобразуем выражение.$$N=5\cdot 6^{60}+6^{25}-4\cdot 6^{20}-43$$
Ещё 3 шага — в полном решении
Значение арифметического выражения $5^{150} + 5^{100} - x$, где $x$ — целое положительное число, не превышающее 2030, записали в $5$-ричной системе счисления. Определите наибольшее значение $x$, при…
- 1
Рассмотрим все допустимые значения $x$ от 1 до 2030. Для каждого значения вычислим $N = 5^{150} + 5^{100} - x$ и подсчитаем количество нулей в его записи по основанию 5.$$N = 5^{150} + 5^{100} - x$$
- 2
Количество нулей в пятеричной записи можно найти последовательным делением числа на 5: каждая нулевая цифра соответствует нулевому остатку на очередном шаге.
Ещё 1 шаг — в полном решении
Значение арифметического выражения $2 \cdot 2187^{2020} + 729^{2021} - 2 \cdot 243^{2022} + 81^{2023} - 2 \cdot 27^{2024} - 6561$ записали в системе счисления с основанием $27$. Определите в…
- 1
Выразим основания степеней через число $3$: $2187=3^7$, $729=3^6$, $243=3^5$, $81=3^4$, $27=3^3$, $6561=3^8$.
- 2
Получаем выражение $N=2\cdot3^{14140}+3^{12126}-2\cdot3^{10110}+3^{8092}-2\cdot3^{6072}-3^8$.
Ещё 2 шага — в полном решении
Значение арифметического выражения $16^8 \times 4^{20} - 4^{10} - 4$ записали в системе счисления с основанием 4. Сколько цифр 3 содержится в этой записи?
- 1
Представим $16$ как степень основания системы счисления:$$16^8 = (4^2)^8 = 4^{16}$$
- 2
Преобразуем исходное выражение:$$16^8 \times 4^{20} - 4^{10} - 4 = 4^{36} - 4^{10} - 4$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Значение арифметического выражения $7^{170} + 7^{100} - x$, где $x$ — целое положительное число, не превышающее $2030$, записали в $7$-ричной системе счисления. Определите наибольшее значение $x$…
- 1
Так как $x\leq 2030<7^4=2401$, представим результат с учётом заимствования при вычитании $x$ из разряда $7^{100}$. Количество нулей в старших разрядах не зависит от $x$; дополнительные нули определяются четырёхразрядной записью числа…
- 2
Диапазон для числа $y=2401-x$: $371\leq y\leq 2400$. Чтобы в четырёхразрядной записи $y$ было максимально возможное число нулей, выбираем число, состоящее из одной ненулевой цифры и трёх нулей: $y=a\cdot 7^k$.
Ещё 2 шага — в полном решении
Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 15: $97968x_{15} + 7x233_{15}$. В записи чисел переменной $x$ обозначена неизвестная цифра из алфавита 15-ричной системы…
- 1
Поскольку $15 \equiv 1 \pmod{14}$, значение числа в 15-ричной системе сравнимо по модулю 14 с суммой его цифр.
- 2
Сумма цифр арифметического выражения равна $9+7+9+6+8+x+7+x+2+3+3=54+2x$.
Ещё 4 шага — в полном решении
Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 22 оканчивается на 4.
- 1
Последняя цифра записи числа в системе счисления с основанием $p$ равна остатку от деления числа на $p$.$$22 \bmod p = 4$$
- 2
Следовательно, основание должно делить разность между числом и его последней цифрой.$$p \mid (22 - 4) = 18$$
Ещё 1 шаг — в полном решении