Решение: Максимум нулей в записи
Значение арифметического выражения $7^{170} + 7^{100} - x$, где $x$ — целое положительное число, не превышающее $2030$, записали в $7$-ричной системе счисления. Определите наибольшее значение $x$, при котором количество нулей в $7$-ричной записи числа, являющегося значением данного арифметического выражения, максимально.
В ответе запишите число в десятичной системе счисления.
Решение по шагам
4 шагаТак как $x\leq 2030<7^4=2401$, представим результат с учётом заимствования при вычитании $x$ из разряда $7^{100}$. Количество нулей в старших разрядах не зависит от $x$; дополнительные нули определяются четырёхразрядной записью числа $2401-x$ в системе счисления с основанием $7$.
Диапазон для числа $y=2401-x$: $371\leq y\leq 2400$. Чтобы в четырёхразрядной записи $y$ было максимально возможное число нулей, выбираем число, состоящее из одной ненулевой цифры и трёх нулей: $y=a\cdot 7^k$.
Число $7^3=343$ меньше 371, поэтому минимальное подходящее число равно $2\cdot 7^3=686$. Его запись имеет вид $(2000)_7$ и содержит три нуля.
Наибольшее значение $x$ соответствует наименьшему подходящему $y$: $x=2401-686=1715$.
Где здесь ошибаются
Забывают учесть заимствование при вычитании из разряда $7^{100}$.
Ищут максимальное, а не минимальное значение $y=2401-x$.
Полагают, что число $7^3=343$ подходит, хотя оно меньше допустимой нижней границы $371$.