Решение: Подсчёт цифр в троичной записи
Значение арифметического выражения $9^{11} \times 3^{20} - 3^9 - 27$ записали в системе счисления с основанием 3. Сколько цифр $2$ содержится в этой записи?
Решение по шагам
5 шаговПредставим множитель $9^{11}$ как степень числа $3$: $9^{11} = (3^2)^{11} = 3^{22}$.
$$9^{11} \times 3^{20} = 3^{22} \times 3^{20} = 3^{42}$$Тогда исходное выражение имеет вид:
$$3^{42} - 3^9 - 27 = 3^{42} - 3^9 - 3^3$$В троичной записи числа $3^{42} - 3^9$ цифры $2$ расположены в разрядах с номерами от $9$ до $41$.
Вычитание $3^3$ вызывает заимствование: в разрядах от $3$ до $8$ появляются цифры $2$, а цифра в разряде $9$ уменьшается с $2$ до $1$. В разрядах от $10$ до $41$ цифры $2$ сохраняются.
Считаем количество цифр $2$: в разрядах от $3$ до $8$ их $8 - 3 + 1 = 6$, а в разрядах от $10$ до $41$ их $41 - 10 + 1 = 32$.
$$6 + 32 = 38$$Где здесь ошибаются
Ошибочно считать $27$ отдельным числом, не заменяя его на $3^3$.
Не учитывать цепочку заимствований при вычитании в троичной системе.
Включать разряд $9$ в число разрядов с цифрой $2$ после вычитания $3^3$.