Решение: Максимум нулей в записи
Значение арифметического выражения $5^{150} + 5^{100} - x$, где $x$ — целое положительное число, не превышающее 2030, записали в $5$-ричной системе счисления. Определите наибольшее значение $x$, при котором количество нулей в $5$-ричной записи значения арифметического выражения максимально.
В ответе запишите число в десятичной системе счисления.
Решение по шагам
3 шагаРассмотрим все допустимые значения $x$ от 1 до 2030. Для каждого значения вычислим $N = 5^{150} + 5^{100} - x$ и подсчитаем количество нулей в его записи по основанию 5.
$$N = 5^{150} + 5^{100} - x$$Количество нулей в пятеричной записи можно найти последовательным делением числа на 5: каждая нулевая цифра соответствует нулевому остатку на очередном шаге.
Перебор показывает, что максимальное количество нулей — 54. Оно достигается при нескольких значениях $x$, кратных $5^4$, а наибольшим допустимым таким значением является $x = 3 \cdot 5^4 = 1875$.
Где здесь ошибаются
Записывают ответ в пятеричной системе вместо десятичной.
Ищут минимальное, а не наибольшее значение $x$ при максимальном количестве нулей.
Подсчитывают нули в десятичной записи выражения.