Задание 24 ЕГЭ по физике: решения ФИПИ с ответами по шагам

Обозначим объём каждого сосуда через $V$, а температуру газа — через $T$. При постоянной температуре количество вещества в сосуде пропорционально произведению давления на объём: $\nu = \dfrac{pV}{RT}$.

Сначала соединяют второй и третий сосуды. Их объёмы одинаковы, поэтому после установления равновесия давление в обоих сосудах будет равно среднему начальному давлению:$$p_{23} = \frac{3pV+pV}{2V}=2p$$

Обозначим начальный объём нижней части сосуда через $V$. Тогда объём верхней части равен $2V$, а полный объём сосуда равен $3V$ и не изменяется.

В начальном состоянии в каждой части находится по одному молю газа. По уравнению идеального газа давления равны$$p_{\text{н}} = \frac{RT}{V}, \qquad p_{\text{в}} = \frac{RT}{2V}$$

В горизонтальном положении давление воздуха в трубке равно атмосферному, поскольку столбик ртути не создаёт разности давлений по горизонтали.$$p_1 = p_{\text{атм}} = 760\ \text{мм рт. ст.}$$

После установки трубки вертикально открытым концом вниз атмосферное давление действует на нижнюю поверхность ртути, поэтому давление воздуха над ртутью уменьшается на давление столбика ртути.$$p_2 = p_{\text{атм}} - \rho gh = 760 - 76 = 684\ \text{мм рт. ст.}$$

Сосуды теплоизолированы, а их стенки жёсткие, поэтому при установлении равновесия внутренняя энергия всей системы сохраняется. Гелий и аргон — одноатомные идеальные газы, для которых $U = \dfrac{3}{2}\nu RT$.$$U_{\text{нач}} = U_{\text{кон}}$$

До открытия крана внутренняя энергия газов равна сумме внутренних энергий гелия и аргона, а после открытия оба газа имеют общую температуру $T$.$$\dfrac{3}{2}R(\nu_1T_1 + \nu_2T_2) = \dfrac{3}{2}R(\nu_1 + \nu_2)T$$

Обозначим начальные объёмы верхней и нижней частей через $V_{\text{в}}$ и $V_{\text{н}}$. По условию $V_{\text{в}}=2V_{\text{н}}$. Так как температура и количество газа в обеих частях одинаковы, из уравнения идеального газа следует:$$p_{\text{в}}V_{\text{в}}=p_{\text{н}}V_{\text{н}}$$

С учётом отношения объёмов начальные давления связаны соотношением:$$p_{\text{н}}=2p_{\text{в}}$$

При постоянной температуре для воздуха выполняется закон Бойля—Мариотта. Поскольку площадь поперечного сечения трубки постоянна, объёмы воздуха пропорциональны длинам воздушных столбиков.$$p_1l_1=p_2l_2$$

В горизонтальном положении давление воздуха равно атмосферному давлению:$$p_1=p_{\text{атм}}=747\ \text{мм рт. ст.}$$

Проверим, может ли вода нагреть весь лёд до температуры плавления. Теплота, необходимая для нагревания льда от $-20\ ^\circ\text{C}$ до $0\ ^\circ\text{C}$, равна:$$Q_{\text{л}}=m_{\text{л}}c_{\text{л}}\Delta T=1\cdot2100\cdot20=42000\ \text{Дж}$$

При охлаждении воды от $10\ ^\circ\text{C}$ до $0\ ^\circ\text{C}$ выделяется:$$Q_{\text{в}}=m_{\text{в}}c_{\text{в}}\Delta T=0{,}2\cdot4200\cdot10=8400\ \text{Дж}$$

Для идеального газа справедливо уравнение Менделеева–Клапейрона.$$pV = \nu RT$$

Так как давление на обеих изобарах одинаково, выразим температуру через объём и количество вещества:$$T = \frac{p}{\nu R}V$$

Для одного шара подъёмная сила равна разности силы Архимеда, действующей на шар, и веса находящегося в нём гелия:$$F_{\text{под}}=(\rho_{\text{возд}}-\rho_{\text{He}})Vg$$

Плотность газа при заданных давлении и температуре определяется уравнением состояния идеального газа:$$\rho=\frac{pM}{RT}$$

До начала движения пробки объём газа постоянен, поэтому сообщённая теплота идёт на увеличение внутренней энергии гелия:$$Q=\Delta U=\frac{3}{2}\Delta pV$$

Найдём увеличение давления газа относительно атмосферного:$$\Delta p=\frac{2Q}{3V}=\frac{2\cdot9}{3\cdot10^{-3}}=6000\ \text{Па}$$

До насыпки песка поршень находится в равновесии, поэтому давление влажного воздуха в сосуде равно атмосферному давлению:$$p_1 = p_0$$

После того как масса песка стала равной $m$, сила давления газа должна уравновешивать атмосферное давление и вес песка. Поэтому давление воздуха в сосуде в момент появления росы равно:$$p_2 S = p_0 S + mg, \qquad p_2 = p_0 + \frac{mg}{S}$$

Для идеального газа справедливо уравнение Менделеева–Клапейрона.$$pV = \nu RT$$

Так как процессы происходят в сосудах постоянного объёма, выразим давление через температуру.$$p = \frac{\nu R}{V}T$$

Теплота подводится только на изохорном участке $1\text{–}2$. Для одноатомного идеального газа $C_V=\dfrac{3}{2}R$.$$Q_{12}=\nu C_V(T_2-T_1)=\frac{3}{2}R(600-400)=300R$$

На адиабатном участке $2\text{–}3$ теплообмен отсутствует, поэтому работа газа равна убыли его внутренней энергии.$$A_{23}=\nu C_V(T_2-T_3)=\frac{3}{2}R(600-510)=135R$$

Для подъёма изобретателя сила, создаваемая разностью плотностей воздуха и гелия, должна уравновешивать его вес:$$(\rho_{\text{возд}}-\rho_{\text{He}})Vg = mg$$

После сокращения ускорения свободного падения общий объём гелия равен:$$V = \dfrac{m}{\rho_{\text{возд}}-\rho_{\text{He}}}$$

Объём комнаты равен$$V = 4 \cdot 5 \cdot 3 = 60\ \text{м}^3$$

Начальное парциальное давление водяного пара составляет $30\%$ от давления насыщенного пара:$$p_1 = 0{,}30 \cdot 1{,}23 = 0{,}369\ \text{кПа} = 369\ \text{Па}$$

Относительная влажность равна отношению давления водяного пара к давлению насыщенного пара.$$\varphi = \dfrac{p}{p_{\text{н}}}$$

Определим парциальное давление водяного пара.$$p = \varphi p_{\text{н}} = 0{,}8 \cdot 5945 = 4756\ \text{Па}$$

До выпадения росы плотность водяного пара в сосуде не изменяется. Роса появляется, когда пар становится насыщенным, то есть давление пара становится равным давлению насыщенного пара при температуре точки росы.$$p=p_{\text{н}}(T)$$

Найдём давление водяного пара по уравнению состояния идеального газа. Температуру необходимо выразить в кельвинах.$$p=\rho R T=2\cdot10^{-2}\cdot461\cdot(273+t)$$

За один цикл газ получает тепло только на участке $1 \to 2$, поскольку участок $2 \to 3$ является охлаждением, а участок $3 \to 1$ — адиабатным.$$Q_{\text{подв}} = Q_{12}$$

На участке $2 \to 3$ работа газа равна нулю, так как процесс изохорный. Работа газа при адиабатном сжатии отрицательна, поэтому работа внешних сил над газом равна $A'_{31}$.$$A_{\text{ц}} = A_{12} - A'_{31}$$

При одинаковой температуре давление насыщенного водяного пара в обеих частях сосуда и после смешения одинаково. Поэтому относительную влажность можно использовать как величину, пропорциональную концентрации водяного пара.

Количество водяного пара сохраняется. Обозначим относительную влажность во второй части через $\varphi_2$, а влажность после снятия перегородки через $\varphi=50\%=0{,}5$.$$\varphi_1 V_1+\varphi_2 V_2=\varphi(V_1+V_2)$$

Объём комнаты равен$$V=6\cdot5\cdot3=90\ \mathrm{м^3}$$

Относительная влажность определяется отношением парциального давления водяного пара к давлению насыщенного пара. Поэтому увеличение давления пара составляет$$\Delta p=(0{,}70-0{,}35)\cdot2{,}33\cdot10^3=815{,}5\ \mathrm{Па}$$