Решение: Равновесие двух газов
Два одинаковых теплоизолированных сосуда соединены короткой трубкой с краном. В первом сосуде находится $\nu_1 = 2\ \text{моль}$ гелия при температуре $T_1 = 400\ \text{К}$; во втором — $\nu_2 = 3\ \text{моль}$ аргона при температуре $T_2 = 300\ \text{К}$. Кран открывают. В установившемся равновесном состоянии давление в сосудах становится $p = 5{,}4\ \text{кПа}$. Определите объём $V$ одного сосуда. Объёмом трубки пренебречь.
Решение по шагам
5 шаговСосуды теплоизолированы, а их стенки жёсткие, поэтому при установлении равновесия внутренняя энергия всей системы сохраняется. Гелий и аргон — одноатомные идеальные газы, для которых $U = \dfrac{3}{2}\nu RT$.
$$U_{\text{нач}} = U_{\text{кон}}$$До открытия крана внутренняя энергия газов равна сумме внутренних энергий гелия и аргона, а после открытия оба газа имеют общую температуру $T$.
$$\dfrac{3}{2}R(\nu_1T_1 + \nu_2T_2) = \dfrac{3}{2}R(\nu_1 + \nu_2)T$$Находим установившуюся температуру смеси:
$$T = \dfrac{\nu_1T_1 + \nu_2T_2}{\nu_1 + \nu_2} = \dfrac{2\cdot400 + 3\cdot300}{2+3} = 340\ \text{К}$$В равновесном состоянии газы занимают общий объём двух одинаковых сосудов, то есть $2V$. По уравнению состояния идеального газа:
$$p\cdot 2V = (\nu_1 + \nu_2)RT$$Выражаем объём одного сосуда и подставляем данные:
$$V = \dfrac{(\nu_1+\nu_2)RT}{2p} = \dfrac{5\cdot 8{,}31\cdot340}{2\cdot5{,}4\cdot10^3} \approx 1{,}31\cdot10^{-1}\ \text{м}^3$$Объём одного сосуда $V \approx 0{,}13\ \text{м}^3$, или примерно $131\ \text{л}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Используют объём одного сосуда вместо общего объёма $2V$.
Не учитывают сохранение внутренней энергии при нахождении конечной температуры.
Считают конечную температуру равной среднему арифметическому температур.
Забывают перевести давление из килопаскалей в паскали.