Решение: Относительная влажность воздуха
Влажный воздух находится в вертикальном гладком цилиндрическом сосуде под невесомым поршнем с площадью $S$. На поршень медленно насыпают песок. На стенках сосуда появляется роса, если масса песка становится равной $m$. Температура влажного воздуха в сосуде поддерживается постоянной. Снаружи сосуда давление воздуха равно нормальному атмосферному давлению $p_0$. Определите первоначальную относительную влажность воздуха в сосуде.
Решение по шагам
6 шаговДо насыпки песка поршень находится в равновесии, поэтому давление влажного воздуха в сосуде равно атмосферному давлению:
$$p_1 = p_0$$После того как масса песка стала равной $m$, сила давления газа должна уравновешивать атмосферное давление и вес песка. Поэтому давление воздуха в сосуде в момент появления росы равно:
$$p_2 S = p_0 S + mg, \qquad p_2 = p_0 + \frac{mg}{S}$$До появления росы водяной пар не конденсируется, поэтому его количество постоянно. При постоянной температуре парциальное давление водяного пара обратно пропорционально объёму. Объём всей газовой смеси также изменяется изотермически, следовательно:
$$\frac{V_1}{V_2} = \frac{p_2}{p_1}$$В момент появления росы пар становится насыщенным, поэтому его парциальное давление равно давлению насыщенного пара $p_{\text{нас}}$. Если $p_{\text{в}1}$ — первоначальное парциальное давление водяного пара, то:
$$p_{\text{в}1} \frac{V_1}{V_2} = p_{\text{нас}}$$Подставляя отношение объёмов, получаем первоначальное парциальное давление водяного пара:
$$p_{\text{в}1} = p_{\text{нас}}\frac{p_1}{p_2}$$Относительная влажность определяется как отношение фактического парциального давления водяного пара к давлению насыщенного пара при той же температуре:
$$\varphi = \frac{p_{\text{в}1}}{p_{\text{нас}}} = \frac{p_1}{p_2} = \frac{p_0}{p_0 + \frac{mg}{S}}$$\varphi = \dfrac{p_0}{p_0 + \dfrac{mg}{S}} = \dfrac{p_0 S}{p_0 S + mg}
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Считать, что давление влажного воздуха до насыпки песка не равно $p_0$.
Добавлять вес песка к давлению без деления на площадь поршня.
Считать, что давление насыщенного пара изменяется при сжатии, хотя температура поддерживается постоянной.
Использовать отношение давлений в обратном порядке и получить относительную влажность больше единицы.